 |
| Πυθαγόρας ο Σάμιος. Γεννήθηκε στη Σάμο μεταξύ 580-572 πΧ και πέθανε στο Μεταπόντιο της Νότιας Ιταλίας, το 500-490 πΧ, που αποτελούσε το κέντρο των Πυθαγόρειων φιλοσόφων. |
Ένα ακόμη σχόλιο από τον μαθηματικό Γιώργο Μπαντέ, για την αξιωματική μέθοδο στα μαθηματικά (που αφορά όμως και κάθε λογικό σύστημα), ως μια συνέχεια του σχολίου του για τον Πυθαγόρα και τη μαθηματική απόδειξη(στις 2.5.12).
Οι κρίσεις στην ιστορία των Μαθηματικών ήταν λογικές κρίσεις οι οποίες αναδεικνύονταν πάντοτε ως προβλήματα ελλιπούς θεμελίωσής τους. Κάθε κρίση δηλαδή αποδείκνυε ένα κενό στους συλλογισμούς των προηγουμένων.
… «καμιά φορά η λογική δημιουργεί τέρατα... περισσότερη ή λιγότερη συνέχεια , περισσότερες παραγώγους, κ.α. Παλιά όταν κάποιος εφεύρισκε μια νέα συνάρτηση, ήταν για πρακτικούς σκοπούς, τώρα την εφευρίσκουν για να ανακαλύψουν ένα κενό στο συλλογισμό των πατέρων τους." (Poincare)1
Κάθε φορά η αυστηροποίηση της αξιωματικής βάσης, στα πλαίσια της αξιωματικής μεθόδου, έλυνε τα προβλήματα του κάθε τομέα , μέσα από μεγάλη και δύσκολη πορεία.
Τι θα πει έλυνε τα προβλήματα; Θα πει ότι παρήγαγε λογικές ερμηνείες των αδιεξόδων μέσω λογικών συλλογισμών που βασίζονταν σε νέες αξιωματικές θεμελιώσεις. Πεδία έρευνας που είχαν καλλιεργηθεί μέχρι τότε με λίγο πολύ διαισθητικό τρόπο , άρχισαν να εφοδιάζονται με αξιωματικές θεμελιώσεις, με μια σταδιακή απομάκρυνση από τη διαισθητική κατανόηση του τομέα, και αυτό ξεκίνησε αυξανόμενο μετά την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. (www.mpantes.gr «Η αλήθεια της γεωμετρίας»). Φαινόταν ότι μια απόλυτη αξιωματική θεμελίωση θα παρήγαγε την απόλυτη μαθηματική αλήθεια , χωρίς μελλοντικά αδιέξοδα. Αλλά η λογική παράγει τέρατα…
Τι είναι όμως και πως εμφανίστηκε η αξιωματική μέθοδος; Μια καλή εικόνα που φαίνεται να αποδίδει, μας δίνει ο H. Eves : «καθώς οι παραγωγικοί συλλογισμοί στη Γεωμετρία των Πυθαγορείων αυξάνονταν, και οι λογικές αλυσίδες μάκραιναν και πολλές συμπλέκονταν μεταξύ τους, γεννήθηκε η φοβερή ιδέα , ολόκληρη η Γεωμετρία να καταστεί μια μοναδική αλυσίδα συλλογισμών» (θεμέλια των μαθηματικών). Η μοναδική αυτή αλυσίδα θα ξεκινούσε από κάπου. Θα έπρεπε λοιπόν κανείς να δεχτεί χωρίς απόδειξη μερικές προτάσεις και όλες τις άλλες προτάσεις του συστήματος να τις παράξει από τις αρχικές με την αποκλειστική βοήθεια των αρχών της λογικής (παραγωγικός συλλογισμός)
Την αξιωματική μέθοδο την ανέπτυξε θεωρητικά ο (Θείος) Αριστοτέλης2 και την εφάρμοσε για πρώτη φορά σε ολόκληρη τη γεωμετρία ο Ευκλείδης (300 π.χ), με την πεποίθηση ότι η αξιωματική μέθοδος συστηματικοποιεί και προάγει τη λογική σκέψη παράγοντας «νέα και αναγκαία γνώση».3
Το θεωρητικό μανιφέστο της αξιωματικής μεθόδου, δηλαδή της μεθοδολογίας των μαθηματικών, το βρίσκουμε στα «Αναλυτικά ύστερα» του Αριστοτέλη. Είναι ο τρόπος που οργανώνεται ένα παραγωγικό σύστημα , το οποίο διαφέρει από μια απλή συλλογή προτάσεων. Εκεί παρουσιάζονται οι «πρώτες αρχές» που θα πρέπει να πληροί κάθε αποδεικτική επιστήμη, οι οποίες κατ’ ουσία είναι ίδιες. Αυτές θα πρέπει να στρέφονται γύρω από τρία πράγματα.
εκείνα που θεωρεί ότι υπάρχουν , οι ορισμοί του γένους της επιστήμης, οι οποίοι απλά εξηγούν τη σημασία των όρων που εμπλέκονται στο εγχείρημα (π.χ ο ορισμός στα «Στοιχεία»: μια οξεία γωνία είναι μια γωνία μικρότερη μιας ορθής γωνίας)
οι κοινές αρχές, που είναι γενικές αρχές που ισχύουν σε κάθε πεδίο μελέτης, σε κάθε επιστήμη και θεωρούνται αυταπόδεικτες (αν σε ίσα προστεθούν ίσα , προκύπτουν ίσα, )
τα αξιώματα για τα οποία η επιστήμη θεωρεί δεδομένο το τι σημαίνουν και συνδέονται με μια συγκεκριμένη επιστήμη. Το αξίωμα το δεχόμαστε ως αληθινό έστω κι αν αυτό δεν αποδεικνύεται ως λογικό, ούτε είναι απόλυτα φανερό. Τα αξιώματα δεν αποδεικνύονται, επιλέγονται. Είναι η πνευματική σφραγίδα του δημιουργού της θεωρίας. «….Το αξίωμα είναι μια υπόθεση όχι αναγκαστικά φανερή ούτε αναγκαστική αποδεκτή από το μαθητή. (Αριστοτέλης Αναλυτικά ύστερα)». Για παράδειγμα, στην κλασσική μηχανική, τα Αριστοτελικά αξιώματα είναι οι νόμοι του Νεύτωνα. Ακόμα, στην ειδική σχετικότητα, οι δύο προτάσεις του Αïνστάιν:
α) η ισοδυναμία των συστημάτων αναφοράς στην έκφραση των φυσικών νόμων και
β) η σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός.
Στην «Ευκλείδεια Γεωμετρίᨻ είναι τα πέντε γνωστά αξιώματα του Ευκλείδη με διασημότερο το 5ο , ( από σημείο εκτός ευθείας μία μόνο παράλληλη άγεται προς την αρχική).
Οι συνδυασμοί των πρώτων αυτών αρχών, θα παράγουν μέσω του παραγωγικού συλλογισμού την αποδεικτική επιστήμη , για τα μαθηματικά θα παράγουν τα θεωρήματα.
Ο Ευκλείδης (3ος αιώνας ) εφάρμοσε τη διδασκαλία του Αριστοτέλη στο διάσημο και αιώνιο έργο του «τα Στοιχεία». Οι 465 προτάσεις που περιέχονται στα «Στοιχεία» εξάγονται λογικά από τις πρώτες αρχές του (ορισμοί, κοινές αρχές και αξιώματα). Εκεί συναρμολόγησε τη θεωρία της Γεωμετρίας σε ένα ασφαλές λογικό σύνολο, βασισμένο στα πέντε αξιώματά του, που απετέλεσε το φάρο μιας παγκόσμιας παραδοχής: «Επιστήμη είναι η γνώση που θεμελιώνεται πάνω σε μερικές γενικές αρχές και παράγεται με τη λειτουργία των νόμων της Λογικής μέσα σε ένα σύνολο από σχετικές έννοιες»4.
2 Ο Αριστοτέλης βέβαια δεν ήταν μαθηματικός αλλά αυτός που ανέπτυξε τη διδασκαλία της τυπικής λογικής και βρήκε στα μαθηματικά εξαιρετικό έδαφος για τη μελέτη του λογικού συλλογισμού, αφού η μαθηματική απόδειξη ήταν ένας αυστηρός λογικός συλλογισμός.
3 Αριστοτέλης , νέα γιατί μαθαίνεις κάτι που δεν γνώριζες πριν, και αναγκαία γιατί το συμπέρασμα είναι αναπόδραστο (Απ. Δοξιάδης , Logicomix)
4 Η Γεωμετρία χρειάζεται (όπως εξ άλλου και η αριθμητική), για την επακόλουθη ορθή σύνδεσής της , λίγες μόνο απλές και θεμελιώδεις προτάσεις. Οι εν λόγω προτάσεις καλούνται αξιώματα της Γεωμετρίας, (D.Hilbert).
Γιώργος Μπαντές www.mpantes.gr
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου