14.6.11

J.H. POINCARE. η σχετικοτητα του χωρου


O Γάλλος Jules Henri Poincaré (1854 -1912), ένα απο τα πιο φωτισμένα μαθηματικά πνεύματα της εποχής του αλλά και όλων των εποχών, ήταν ταυτόχρονα και θεωρητικός φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός και φιλόσοφος της επιστήμης. Τα τελευταία χρόνια της ζωής του έζησε την επανάσταση που άρχισε στις φυσικές επιστήμες, πράγμα που τον έκανε να ασχοληθεί με τη μεθοδολογία της επιστημονικής γνώσης. 
Κατά την άποψη του οι βασικές αρχές  των επιστημονικών θεωριών δεν αποτελούν τίποτε άλλο παρά συμβάσεις, με μοναδικό αίτημα τη μη αντιφατικότητά τους. Δεν αποτελούν δηλαδή ούτε a priori, ούτε a posteriori αλήθειες. Το ποιες θα επιλέξουμε, εξαρτάται απο την πρακτική της εφαρμογής τους. 
Ο Πουανκαρέ, όπως και ο Αϊνστάιν, δεν δέχεται την ύπαρξη απόλυτου χώρου ή χώρου κενού απο ύλη εν γένει.
Το παρακάτω κείμενο είναι ένα άρθρο του Πουανκαρέ για τη σχετικότητα του χώρου, σε μετάφραση του μαθηματικού Γιώργου Μπαντέ, στον οποίον ανήκουν και τα σχόλια στο τέλος του κειμένου. Παρ'  όλη την σχετική δυσκολία του κειμένου, αξίζει τον κόπο.

J.H. POINCARE. η σχετικοτητα του χωρου 
Είναι αδύνατο να απεικονίσουμε τον κενό χώρο. Όλες μας οι προσπάθειες να φανταστούμε τον καθαρό χώρο χωρίς τις μεταβαλλόμενες μορφές των υλικών σωμάτων, μπορούν μόνο να μας οδηγήσουν σε μια απεικόνιση στην οποία, για παράδειγμα, έντονα χρωματισμένες επιφάνειες αντικαθιστούνται από γραμμές αμυδρού χρωματισμού, και αν συνεχίσουμε μ’ αυτόν τον τρόπο στο τέλος θα εξαφανίζονταν τα πάντα και δεν θα καταλήγαμε πουθενά. Από εδώ προκύπτει τελεσίδικα η έννοια της σχετικότητας του χώρου.
Όποιος μιλάει για απόλυτο χώρο χρησιμοποιεί μια λέξη κενή νοήματος. Είναι μια αλήθεια που έχει διακηρυχτεί επί μακρόν απ΄ όλους όσους έχουν ασχοληθεί με το θέμα, αλλά έχουμε την τάση να το ξεχνούμε.

Αν βρίσκομαι σ’ ένα ορισμένο σημείο στο Παρίσι π.χ στην πλατεία του Πανθέου και πω "θα επιστρέψω εδώ αύριο", αν ερωτηθώ "εννοείς ότι θα επιστρέψεις στο ίδιο σημείο του χώρου;" Θα δελεαστώ να απαντήσω ναι. Όμως θα ήταν λάθος, αφού από σήμερα μέχρι αύριο η γη θα κινηθεί, μεταφέροντας μαζί και το Πάνθεο, το οποίο έτσι θα ταξιδέψει πάνω από ένα εκατομμύριο μίλια. Και αν θέλω να μιλήσω ακριβέστερα, πάλι δεν θα κέρδιζα τίποτα , αφού αυτό το εκατομμύριο μίλια έχει καλυφτεί απ’ τη σφαίρα μας στην κίνησή της σε σχέση με τον ήλιο και ο ήλιος με τη σειρά του κινείται σε σχέση με το Γαλαξία, και ο Γαλαξίας είναι αναμφίβολα σε κίνηση χωρίς να μπορούμε να γνωρίζουμε την ταχύτητά του. Έτσι είμαστε και θα είμαστε πάντα σε πλήρη άγνοια για το πόσο μακριά μετακινείται η πλατεία Πανθέου σε μία ημέρα. Στην πραγματικότητα αυτό που προτίθεμαι να πω είναι
"Αύριο θα δω πάλι τον τρούλο και το αέτωμα του Πανθέου"
και αν δεν υπήρχε το Πάνθεον η πρότασή μου δεν θα είχε σημασία και ο χώρος θα εξαφανιζόταν.
Αυτή είναι μια απ΄ τις πιο κοινότοπες απόψεις για τη σχετικότητα του χώρου, αλλά υπάρχει μια άλλη στην οποία ο Delfeur έχει δώσει ιδιαίτερη έμφαση. Ας υποθέσουμε ότι μια νύχτα όλες οι διαστάσεις του σύμπαντος γίνονταν χίλιες φορές μεγαλύτερες. Ο κόσμος θα παρέμενε όμοιος με τον εαυτό του , αν δώσουμε στη λέξη ομοιότητα τη σημασία που έχει στο τρίτο βιβλίο του Ευκλείδη. Μόνο που ότι ήταν πριν ένα μέτρο τώρα θα είναι ένα χιλιόμετρο και ότι ήταν ένα χιλιοστό θα γίνει ένα μέτρο. Το κρεβάτι στο οποίο κοιμήθηκα και το ίδιο μου το σώμα θα έχουν μεγαλώσει με την ίδια αναλογία. Όταν θα ξυπνήσω το πρωί πως θα αισθάνομαι μπροστά σε μια τέτοια εκπληκτική μεταμόρφωση; Λοιπόν, δεν θα παρατηρήσω τίποτα απολύτως. Οι πιο ακριβείς μετρήσεις θα είναι ανίκανες να μου αποκαλύψουν οτιδήποτε γι αυτήν την τρομακτική αλλαγή , αφού τα μέτρα μέτρησης που θα χρησιμοποιήσω , θα έχουν μεταβληθεί ακριβώς στις ίδιες αναλογίες με τα αντικείμενα που θα επιχειρήσω να μετρήσω. Στην πραγματικότητα η αλλαγή υπάρχει μόνον για εκείνους που υποστηρίζουν ότι ο χώρος είναι απόλυτος. Αν υποστήριζα το ίδιο για μια στιγμή , θα ήταν μόνο για να κάνω σαφέστερο ότι η άποψη αυτή περιέχει μια αντίφαση. Στην πραγματικότητα θα ήταν καλύτερα να πούμε ότι αφού ο χώρος είναι σχετικός, τίποτα δεν έχει συμβεί και γι αυτό το λόγο δεν αντιληφθήκαμε τίποτα.
Έχει λοιπόν κάποια σημασία το να πούμε ότι γνωρίζουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων; Όχι αφού η απόσταση αυτή θα μπορούσε να υποστεί τεράστιες μεταβολές χωρίς να μπορούμε να το αντιληφθούμε υπό τον όρο ότι και άλλες διαστάσεις μεταβλήθηκαν στις ίδιες αναλογίες. Αναφέραμε πριν ότι όταν λέω θα είμαι εδώ αύριο, δεν σημαίνει ότι αύριο θα είμαι στο ίδιο σημείο του χώρου που είμαι σήμερα, αλλά ότι αύριο θα είμαι στην ίδια απόσταση απ’ το Πάνθεον που είμαι σήμερα. Και ήδη η δήλωση αυτή δεν αρκεί, αλλά θα έπρεπε να δηλώσω ότι αύριο και σήμερα η απόστασή μου απ’ το Πάνθεο θα ισούται με το ίδιο πολλαπλάσιο του μήκους του σώματός μου.
Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Φαντάστηκα ότι οι διαστάσεις του κόσμου αλλάζουν, αλλά τουλάχιστον ο κόσμος παραμένει πάντα όμοιος με τον εαυτό του. Μπορούμε να πάμε και πιο πέρα απ’ αυτό, και μια απ’ τις πιο εκπληκτικές θεωρίες των σύγχρονων φυσικών θα μας δώσει αυτή την ευκαιρία. Σύμφωνα με την υπόθεση των Lorentz και Fitzgerald όλα τα σώματα που μεταφέρονται με την κίνηση της γης υφίστανται μια παραμόρφωση1 . Η παραμόρφωση αυτή είναι αλήθεια πολύ μικρή, αφού οι διαστάσεις που είναι παράλληλες με την κίνηση της γης ελαττώνονται κατά εκατό εκατομμυριοστά, ενώ οι διαστάσεις οι κάθετες σ’ αυτή την κίνηση δεν μεταβάλλονται. Αλλά λίγο ενδιαφέρει το μικρό της μέγεθος , είναι αρκετό για τα συμπεράσματα που πρόκειται σύντομα να εξάγω απ’ αυτήν, το ότι υπάρχει. Εκτός του ότι η παραμόρφωση είναι μικρή , στην πραγματικότητα δεν ξέρω τίποτα γι αυτήν. Έχω πέσει θύμα μιας ισχυρής πλάνης που μας κάνει να πιστεύουμε ότι σκεφτόμαστε έναν απόλυτο χώρο. Σκεφτόμουν την κίνηση της γης στην ελλειπτική τροχιά της γύρο απ’ τον ήλιο και βεβαίωνα 18 μίλια ανά δευτερόλεπτο για την ταχύτητά της. Αλλά την αληθινή της ταχύτητα ( εννοώ τη φορά αυτή όχι την απόλυτη ταχύτητά της που δεν έχει κανένα νόημα , αλλά την ταχύτητά της σε σχέση με τον αιθέρα) δεν τη γνωρίζω και δεν έχει νόημα να τη γνωρίζω, είναι ίσως 10 ή 100 φορές μεγαλύτερη και τότε η παραμόρφωση θα είναι 100 ή 10000 φορές μεγαλύτερη.
Είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να αποδείξουμε αυτή την παραμόρφωση. Ας πάρουμε έναν κύβο με πλευρά ένα μέτρο. Αυτός παραμορφώνεται αναφορικά με την κίνηση της γης, μια απ’ τις πλευρές του , η παράλληλη με την κίνηση μικραίνει οι άλλες όχι. Αν θέλω να βεβαιωθώ γι’ αυτό με τη βοήθεια μιας ράβδου μέτρησης θα μετρήσω πρώτα μια απ’ τις κάθετες πλευρές στην κίνηση και θα βεβαιωθώ ότι η ράβδος μου εφαρμόζει ακριβώς σ’ αυτή την πλευρά και πράγματι κανένα απ’ τα μήκη αυτά δεν μεταβάλλεται αφού είναι κάθετα στη διεύθυνση της κίνησης. Στη συνέχεια μετρώ την άλλη πλευρά την παράλληλη με την κίνηση . τότε αλλάζει η θέση της ράβδου μου για να εφαρμόζει στην πλευρά αυτή. Αλλά τότε η ράβδος μέτρησης έχοντας αλλάξει διεύθυνση, γινόμενη παράλληλη με την κίνηση, υφίσταται με τη σειρά της την παραμόρφωση έτσι ώστε αν και η πλευρά του κύβου δεν έχει πλέον μήκος ενός μέτρου θα εφαρμόζει ακριβώς σ’ αυτήν, και δεν θα παρατηρήσω τίποτα.
Σε τι συνίσταται λοιπόν, θα ρωτούσε κάποιος, η χρησιμότητα της υπόθεσης των Lorentz και Fitzgerald αφού κανένα πείραμα δεν μπορεί να την επαληθεύσει; Όμως η πρότασή μου είναι ελλιπής. Έχω μιλήσει μόνο για μετρήσεις που μπορούμε να κάνουμε με μία ράβδο μέτρησης , αλλά μπορούμε επίσης να μετρήσουμε μια απόσταση με το χρόνο που χρειάζεται το φως για να τη διατρέξει, με τη συμφωνία ότι η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή και ανεξάρτητη απ’ τη διεύθυνσή του.2 Ο Lorentz θα μπορούσε να ερμηνεύσει τα γεγονότα υποθέτοντας ότι η ταχύτητα του φωτός είναι μεγαλύτερη κατά τη διεύθυνση της κίνησης της γης απ’ ότι κατά την κάθετη διεύθυνση. Προτίμησε όμως να δεχτεί ότι η ταχύτητα είναι η ίδια κατά τις δύο διευθύνσεις αλλά τα σώματα είναι μικρότερα κατά την πρώτη σε σχέση με τη δεύτερη. Αν οι επιφάνειες των κυμάτων του φωτός είχαν υποστεί τις ίδιες παραμορφώσεις όπως τα υλικά σώματα ποτέ δεν θα είχαμε αντιληφθεί την παραμόρφωση Lorentz-Fitzgerald.3
Και στη μια και στην άλλη περίπτωση δεν μπορεί να τεθεί ερώτημα για απόλυτο μέγεθος αλλά για τη μέτρηση αυτού του μεγέθους με κάποιο όργανο.4 Το όργανο μπορεί να είναι μια ράβδος μέτρησης ή ο δρόμος που διανύθηκε απ’ το φως. Το μόνο που μετρούμε είναι η σχέση του μεγέθους με το όργανο και αν η σχέση αυτή μεταβληθεί , δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν αυτό που έχει μεταβληθεί είναι το όργανο ή το μέγεθος.
Αλλά αυτό που θέλω να ξεκαθαρίσω ότι σ’ αυτή την παραμόρφωση ο κόσμος δεν έχει παραμείνει όμοιος με τον εαυτό του. Τα τετράγωνα έχουν γίνει ορθογώνια ή παραλληλόγραμμα , οι κύκλοι ελλείψεις και οι σφαίρες ελλειψοειδή. Και ακόμα δεν μπορούμε να γνωρίσουμε αν η παραμόρφωση αυτή είναι πραγματική.
Είναι φανερό ότι θα μπορούσαμε να πάμε πολύ μακρύτερα. Αντί για την παραμόρφωση των Lorentz- Fitzgerald με τους υπερβολικά απλούς νόμους, θα μπορούσαμε να φανταστούμε μια παραμόρφωση οποιουδήποτε είδους. Τα σώματα θα μπορούσαν να παραμορφωθούν με οποιουσδήποτε νόμους, όσο πολύπλοκους θέλαμε, και δεν θα το αντιλαμβανόμασταν, με την υπόθεση ότι όλα τα σώματα χωρίς εξαίρεση θα παραμορφώνονταν σύμφωνα με τους ίδιους νόμους. Όταν λέω όλα τα σώματα χωρίς εξαίρεση , περιλαμβάνω φυσικά, τα ίδια μας τα σώματα και τις φωτεινές ακτίνες που εκπέμπονται απ’ τα διάφορα αντικείμενα.
Αν κοιτάξουμε τον κόσμο μέσα από εκείνους τους πολύπλοκους καθρέφτες που παραμορφώνουν τα αντικείμενα με έναν παράξενο τρόπο , οι αμοιβαίες σχέσεις των διαφορετικών τμημάτων του κόσμου δεν μεταβάλλονται, πράγματι αν δύο αντικείμενα εφάπτονται οι εικόνες τους ομοίως φαίνονται να εφάπτονται. Είναι αλήθεια ότι όταν κοιτάξουμε σε έναν τέτοιο καθρέφτη , αντιλαμβανόμαστε την παραμόρφωση , αλλά αυτό γιατί ο πραγματικός κόσμος υπάρχει δίπλα απ’ την παραμορφωμένη του εικόνα. Κι αν ακόμα αυτός ο πραγματικός κόσμος κρύβονταν από εμάς, υπάρχει κάτι που δεν μπορεί να κρυφτεί κι αυτό είναι ο εαυτός μας. Δεν μπορούμε να βοηθήσουμε με το να βλέπουμε ή τουλάχιστον να αισθανόμαστε το σώμα μας και τα μέλη μας τα οποία δεν έχουν παραμορφωθεί και συνεχίζουν να λειτουργούν σαν όργανα μέτρησης. Αν όμως φανταστούμε το σώμα μας να παραμορφώνεται το ίδιο και με τον ίδιο τρόπο σαν να το βλέπαμε στον καθρέφτη , αυτά τα όργανα μέτρησης θα μας πρόδιδαν με τη σειρά τους και η παραμόρφωση δεν θα ήταν διαπιστώσιμη.
Φανταστείτε ομοίως δύο σύμπαντα που το ένα είναι η εικόνα του άλλου. Σε κάθε αντικείμενο Ρ του σύμπαντος Α αντιστοιχεί στο σύμπαν Β ένα αντικείμενο Ρ1 που είναι η εικόνα του. Οι συντεταγμένες της εικόνας αυτής Ρ1 είναι συγκεκριμένες συναρτήσεις των συντεταγμένων του Ρ. Επί πλέον οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να είναι οποιουδήποτε είδους. Υποθέτω μόνο ότι ορίζονται άπαξ. Ανάμεσα στη θέση του Ρ και του Ρ1 υπάρχει μια σταθερή σχέση. Λίγο ενδιαφέρει ποια είναι αυτή η σχέση , είναι αρκετό ότι είναι σταθερή.
Λοιπόν τα δύο σύμπαντα είναι μη διακρίσιμα5.
Εννοώ ότι το πρώτο για τους κατοίκους του θα είναι ό,τι και το δεύτερο για τους δικούς του. Αυτό θα ισχύει για όσον καιρό τα δύο σύμπαντα παραμένουν ξένα μεταξύ τους. Ας υποθέσουμε ότι είμαστε κάτοικοι του σύμπαντος Α, έχουμε κατασκευάσει την επιστήμη μας και ειδικότερα τη γεωμετρία μας. Συγχρόνως οι κάτοικοι του Β έχουν οικοδομήσει μια επιστήμη και αφού ο κόσμος τους είναι εικόνα του δικού μας , η γεωμετρία τους θα είναι επίσης εικόνα της δικής μας , ή ακριβέστερα θα είναι η ίδια. Αλλά αν κάποια μέρα μας ανοιγόταν ένα παράθυρο προς το σύμπαν Β θα αισθανόμασταν περιφρόνηση γι’ αυτούς και θα λέγαμε «αυτοί οι δυστυχισμένοι φαντάζονται ότι έχουν κάνει γεωμετρία, αλλά αυτό που ονομάζουν γεωμετρία είναι μια αλλόκοτη εικόνα της δικής μας. Οι ευθείες τους όλες είναι στρεβλωμένες , οι κύκλοι τους είναι κυρτωμένοι και οι σφαίρες τους έχουν ιδιόμορφες ανωμαλίες. Δεν θα υποπτευόμασταν ότι αυτοί θα έλεγαν το ίδιο για μας , και κανένας ποτέ δεν θα μάθαινε ποιος έχει δίκιο.
Βλέπουμε με ποια ευρύτητα θα πρέπει να κατανοήσουμε τη σχετικότητα του χώρου. Ο χώρος στην πραγματικότητα είναι άμορφος και το μόνο που του δίνει μια μορφή είναι τα πράγματα μέσα σ’ αυτόν. Ποια είναι η άμεση διαίσθηση που έχουμε για την ευθεία γραμμή ή για την απόσταση; Έχουμε τόσο λίγο ανεπτυγμένο το «αισθητήριο» για την απόσταση, ώστε σε μια μόνο νύχτα όπως είπαμε , μια απόσταση θα μπορούσε να γίνει χίλιες φορές μεγαλύτερη χωρίς να έχουμε τη δυνατότητα να το αντιληφθούμε, αν όλες οι άλλες αποστάσεις είχαν υποστεί την ίδια μεταβολή. Και σε μία νύχτα το σύμπαν Β θα μπορούσε να αντικαταστήσει το σύμπαν Α χωρίς να έχουμε κανέναν τρόπο να το γνωρίζουμε, και τότε οι ευθείες γραμμές του χθες θα έπαυαν να είναι ευθείες και δεν θα αντιλαμβανόμασταν τίποτα.
Ένα τμήμα του χώρου δεν είναι καθεαυτό, και κατά την απόλυτη έννοια του κόσμου, ίσο με ένα άλλο τμήμα του χώρου , γιατί αν συμβαίνει αυτό για μας δεν θα συμβαίνει για τους κατοίκους του σύμπαντος Β, και έχουν ακριβώς το ίδιο δικαίωμα να απορρίψουν την άποψή μας όπως και εμείς να καταδικάσουμε τις δικές τους.
Έχω δείξει αλλού ποιες είναι οι συνέπειες αυτών των γεγονότων από την άποψη της κατασκευής μη Ευκλείδειων και άλλων ανάλογων γεωμετριών6. Δεν επιθυμώ να επιστρέψω σ’ αυτό και θα παρουσιάσω μια κάπως διαφορετική άποψη.

Ι Ι
Αν το «αισθητήριο» για την απόσταση ή για τη διεύθυνση της ευθείας γραμμής , αν με μια λέξη αυτή η άμεση διαίσθηση για το χώρο δεν υφίσταται , από πού πηγάζει αυτό που φανταζόμαστε ότι διαθέτουμε; Αν αυτό είναι μια αυταπάτη πώς συμβαίνει να είναι τόσο ισχυρή; Αυτό είναι που πρέπει να εξετάσουμε. Όπως έχουμε αναφέρει, δεν υπάρχει άμεση διαίσθηση για το μέγεθος και στη σχέση του μεγέθους μπορούμε να φτάσουμε μόνο με το όργανο μέτρησης. Άρα δεν θα μπορούσαμε να οικοδομήσουμε το χώρο αν δεν είχαμε ένα όργανο μέτρησης. Λοιπόν αυτό το όργανο στο οποίο αναφέρουμε τα πάντα , που το χρησιμοποιούμε ενστικτωδώς , είναι το ίδιο μας το σώμα. Είναι σε σχέση με το ίδιο μας το σώμα που εντοπίζουμε τα εξωτερικά αντικείμενα και οι μόνες ειδικές σχέσεις που μπορούμε να αποδώσουμε σ’ αυτά είναι οι σχέσεις τους με το σώμα μας. Είναι το σώμα μας που μας χρησιμεύει , για να μιλήσουμε έτσι σαν ένα σύστημα αξόνων συντεταγμένων.
Για παράδειγμα έστω ότι σε μια στιγμή α , η παρουσία ενός αντικειμένου Α μου αποκαλύπτεται μέσω της όρασης και σε μια άλλη στιγμή β η παρουσία ενός άλλου αντικειμένου Β μου αποκαλύπτεται με μια άλλη αίσθηση π.χ της ακοής ή της αφής. Κρίνω ότι το αντικείμενο Β καταλαμβάνει την ίδια θέση με το Α. Τι σημαίνει αυτό; Κατ’ αρχάς δεν υποδηλώνει ότι τα δύο αντικείμενα καταλαμβάνουν , σε δύο διαφορετικές στιγμές ,το ίδιο σημείο στον απόλυτο χώρο , το οποίο κι αν ακόμα υπήρχε, θα διέφευγε της γνώσης μας αφού μεταξύ των στιγμών α και β το ηλιακό σύστημα έχει μετατοπιστεί, και δεν γνωρίζουμε πόση είναι η μετατόπιση αυτή. Σημαίνει λοιπόν ότι τα δύο σώματα κατέχουν την ίδια σχετική θέση αναφορικά με το σώμα μας.
Αλλά ακόμα κι έτσι τι σημαίνει αυτό; Οι εντυπώσεις που μας έχουν δημιουργηθεί απ’ αυτά τα αντικείμενα έχουν ακολουθήσει τελείως διαφορετικές οδούς, το οπτικό νεύρο για το αντικείμενο Α και το ακουστικό νεύρο για το Β, δεν έχουν τίποτα κοινό από ποιοτική άποψη. Οι απεικονίσεις που μπορούμε να σχηματίσουμε για τα δύο αυτά αντικείμενα είναι απολύτως ετερογενείς και μη αναγώγιμες η μία στην άλλη. Το μόνο που γνωρίζω είναι ότι για να φτάσω στο αντικείμενο Α πρέπει μόνο να εκτείνω το χέρι μου κατά έναν καθορισμένο τρόπο. Κι αν ακόμα αποφύγω να το κάνω, απεικονίζω στον εαυτό μου αυτή την έκταση του χεριού, τη μυϊκή, και άλλες ανάλογες αισθήσεις που τη συνοδεύουν , και αυτή η απεικόνιση συνδέεται με την απεικόνιση του αντικειμένου Α.
Γνωρίζω ομοίως ότι μπορώ να φτάσω το αντικείμενο Β εκτείνοντας το δεξί μου χέρι κατά τον ίδιο τρόπο , μια κίνηση που συνοδεύεται απ’ τις ίδιες μυϊκές αισθήσεις. Και εννοώ ακριβώς ότι τα δύο αυτά αντικείμενα κατέχουν την ίδια θέση.
Γνωρίζω επίσης ότι θα μπορούσα να ακουμπήσω το αντικείμενο Α με μια ανάλογη κίνηση του αριστερού μου χεριού, και απεικονίζω στον εαυτό μου τις μυϊκές αισθήσεις που θα συνόδευαν αυτή την κίνηση. Και με την ίδια κίνηση του αριστερού χεριού που συνοδεύεται απ’ τις ίδιες αισθήσεις θα μπορούσα επίσης να φτάσω το αντικείμενο Β.
Και αυτό είναι πολύ σημαντικό, αφού μ’ αυτόν τον τρόπο θα μπορούσα να προστατεύσω τον εαυτό μου απ’ τους κινδύνους με τους οποίους θα με απειλούσαν το αντικείμενο Α ή το Β. Με κάθε χτύπημα που θα μπορούσε να μας πλήξει, η φύση έχει συνδέσει μία ή περισσότερες αντιδράσεις οι οποίες θα μπορούσαν να μας προστατέψουν απ΄ αυτά. Η ίδια αντίδραση μπορεί να προκληθεί από διάφορα πλήγματα. Έτσι για παράδειγμα η ίδια κίνηση του δεξιού χεριού , θα μπορούσε να μας προστατέψει κατά τη στιγμή α απ’ το αντικείμενο Α, και τη στιγμή β απ’ το αντικείμενο Β. ομοίως το ίδιο πλήγμα μπορεί να αποκρουστεί με διάφορους τρόπους , και έχουμε πει για παράδειγμα ότι μπορούμε να φτάσουμε το αντικείμενο Α εξ’ ίσου καλά, είτε με μια ορισμένη κίνηση του δεξιού χεριού είτε του αριστερού.
Όλες αυτές οι αντιδράσεις δεν έχουν τίποτα κοινό μεταξύ τους, εκτός από το ότι μας προστατεύουν από τον ίδιο κίνδυνο, και αυτό και μόνο εννοούμε όταν λέμε ότι είναι κινήσεις που καταλήγουν στο ίδιο σημείο του χώρου. Ομοίως τα αντικείμενα για τα οποία λέμε ότι κατέχουν το ίδιο σημείο στο χώρο δεν έχουν τίποτα το κοινό , εκτός του ότι η ίδια αντίδραση μπορεί να μας προστατέψει απ’ αυτά.
Ή αν προτιμούμε, ας φανταστούμε αμέτρητα τηλεγραφικά σύρματα κάποια κεντρομόλα και άλλα φυγόκεντρα. Τα κεντρομόλα σύρματα μας προειδοποιούν για ατυχήματα που συμβαίνουν έξω , τα φυγόκεντρα μας υποδεικνύουν την αντιμετώπιση. Έχουν εγκατασταθεί συνδέσεις με τέτοιον τρόπο ώστε όταν ένα κεντρομόλο σύρμα διαρρέεται από ρεύμα , το ρεύμα αυτό ενεργεί σε ένα κεντρικό τηλεφωνικό κέντρο, και έτσι προκαλεί ένα ρεύμα σε ένα απ’ τα φυγόκεντρα σύρματα, και η κατάσταση είναι έτσι ρυθμισμένη, ώστε διάφορα κεντρομόλα σύρματα μπορούν να ενεργούν στο ίδιο φυγόκεντρο σύρμα αν συνιστάται η ίδια αντιμετώπιση σε διάφορα πλήγματα, και επίσης ένα κεντρομόλο σύρμα μπορεί να δημιουργήσει ρεύμα σε πολλά φυγόκεντρα , είτε ταυτόχρονα είτε σε διαφορετικούς χρόνους κάθε φορά που το ίδιο πλήγμα μπορεί να αντιμετωπιστεί με διάφορους τρόπους.
Αυτό το σύνθετο σύστημα των συνδέσεων , αυτός ο τρόπος του λέγειν πίνακας διανομής7 είναι όλη μας η γεωμετρία , ή αν θέλετε όλα αυτά που είναι χαρακτηριστικά στη γεωμετρία μας. Αυτό που ονομάζουμε διαίσθηση μιας ευθείας γραμμής ή μιας απόστασης, είναι η συνείδηση που έχουμε για τις συνδέσεις αυτές και τον επείγοντα χαρακτήρα τους.
Από πού προέρχεται αυτός ο προεξέχων χαρακτήρας τους είναι εύκολο να γίνει αντιληπτό. Όσο πιο παλιές είναι οι σχέσεις αυτές τόσο πιο ακατάλυτες μας φαίνονται. Αλλά οι σχέσεις αυτές στο μεγαλύτερο μέρος τους δεν είναι κατακτήσεις ατομικές , αφού βλέπουμε τα ίχνη τους στα νεογέννητα παιδιά , είναι κατακτήσεις της φυλής. Όσο πιο αναγκαίες είναι , τόσο πιο γρήγορα έχουν προκληθεί απ’ τη φυσική επιλογή.
Με βάση αυτή την ανάλυση οι σχέσεις αυτές είναι απ’ τις πιο παλιές , αφού χωρίς αυτές η υπεράσπιση του οργανισμού θα ήταν αδύνατη. Απ’ τη στιγμή που τα κύτταρα δεν ήταν πλέον σε μια παράθεση το ένα δίπλα στο άλλο αλλά κλήθηκαν να υποστηρίξουν το ένα το άλλο , κάποιος τέτοιος μηχανισμός που έχουμε περιγράψει θα έπρεπε να οργανωθεί κατ’ ανάγκη, ώστε η συνδρομή θα αντιμετώπιζε τον κίνδυνο χωρίς αποτυχία.
Όταν αποκοπεί το κεφάλι ενός βατράχου και τοποθετηθεί μια σταγόνα οξύ σε κάποιο σημείο της επιδερμίδας του, ο βάτραχος προσπαθεί να αφαιρέσει το οξύ τρίβοντας το δέρμα με το πλησιέστερο πόδι του. Και αν αυτό το πόδι έχει κοπεί, προσπαθεί με το άλλο. Εδώ έχουμε καθαρά αυτή τη διπλή αντίδραση για την οποία έχω μιλήσει, που δίνει τη δυνατότητα να αντιμετωπίζουμε ένα κακό με μια δεύτερη αντίδραση αν αποτύχει η πρώτη. Η πολλαπλότητα αυτή των αντιδράσεων και ο παραγόμενος συντονισμός, αυτά είναι ο χώρος.
Βλέπουμε σε τι βάθη του ασυνείδητου πρέπει να κατεβούμε για να βρούμε τα πρώτα ίχνη αυτών των χωρικών συνδέσεων, αφού μόνο τα κατώτερα τμήματα του νευρικού συστήματος παίζουν ρόλο. Όταν το αντιληφθούμε, πως μπορεί να μας εκπλήσσει η αντίσταση που προβάλουμε σε κάθε προσπάθεια να αποσυνδέσουμε κάτι που είναι συνδεμένο μαζί μας από τόσο παλιά; Αυτή η αντίσταση είναι , αυτό που αποκαλούμε ένδειξη της αλήθειας της γεωμετρίας. Η ένδειξη αυτή δεν είναι τίποτα άλλο παρά η απέχθεια που νοιώθουμε όταν διακόπτουμε πολύ παλιές μας συνήθειες με τις οποίες πάντοτε τα πηγαίναμε πολύ καλά.

ΙΙΙ
Ο χώρος που έχουμε δημιουργήσει ως τώρα, είναι μόνο μια μικρή περιοχή που δεν εκτείνεται πέρα απ’ το σημείο που φτάνει το χέρι μου, και για να διευρυνθούν τα όριά του είναι αναγκαία η επέμβαση της μνήμης. Υπάρχουν σημεία που ποτέ δεν θα φτάσω οσοδήποτε κι αν απλώσω τα χέρια μου. Αν ήμουν προσκολλημένος στο έδαφος, όπως για παράδειγμα ένας θαλάσσιος πολύποδας ο οποίος μπορεί μόνο να απλώσει τα πλοκάμια του, όλα τα σημεία εκτός του εδάφους θα ήταν εκτός του χώρου, αφού οι αισθήσεις που έπρεπε να αναπτύξουμε απ’ τη δράση των σωμάτων στα σημεία αυτά δεν θα συνδέονταν με καμία κίνηση που θα μας επέτρεπε να τα φτάσουμε ή να τα απωθήσουμε. Οι αισθήσεις αυτές δεν θα μας δημιουργούσαν κανένα χωρικό αίσθημα και δεν θα προσπαθούσαμε να τις εγκαταστήσουμε.
Αλλά εμείς δεν είμαστε προσκολλημένοι στο έδαφος όπως τα κατώτερα ζώα. Αν ο εχθρός είναι πολύ μακριά μπορούμε πρώτα να τον πλησιάσουμε και μετά να εκτείνουμε το χέρι μας, αφού τον πλησιάσουμε αρκετά. Αυτό είναι πάλι μια απώθηση, αλλά εκτείνεται σε μεγάλη απόσταση. Επί πλέον είναι μια σύνθετη απώθηση και σύμφωνα με την αναπαράσταση που κάναμε, υπεισέρχονται η αναπαράσταση των μυϊκών αισθήσεων που προκαλούνται απ’ την κίνηση των ποδιών, των μυϊκών αισθήσεων απ’ την κίνηση του χεριού, των αισθήσεων των ημικυκλικών πόρων κλπ. Επί πλέον πρέπει να αναπαραστήσουμε όχι ένα σύνολο ταυτόχρονων αισθήσεων, αλλά διαδοχικών αισθήσεων, που ακολουθούν η μία την άλλη σε μια καθορισμένη σειρά. Και αυτός είναι ο λόγος που ανέφερα ότι είναι αναγκαία η επέμβαση της μνήμης.
Επί πλέον πρέπει να παρατηρήσω ότι, για να φτάσουμε στο ίδιο σημείο , μπορώ να πλησιάσω πιο κοντά στο αντικείμενο που προσπαθώ, έτσι ώστε να μην απλώσω το χέρι μου τόσο μακριά. Θα μπορούσε κάποιος να ρωτήσει, πόσο πιο κοντά; Δεν είναι μόνο μία αλλά χίλιες απωθήσεις που μπορώ να αντιπαραθέσω στον ίδιο κίνδυνο. Όλες αυτές οι απωθήσεις σχηματίζονται από αισθήσεις που δεν έχουν τίποτα κοινό, κι όμως τις θεωρούμε ότι ορίζουν το ίδιο σημείο στο χώρο γιατί μπορούν να απαντήσουν στον ίδιο κίνδυνο και είναι όλες τους συνδεδεμένες με την έννοια αυτού του κινδύνου. Η δυνατότητα των απωθήσεων του ίδιου πλήγματος, είναι που δημιουργεί την ενότητα αυτών των διαφορετικών απωθήσεων, όπως ακριβώς η δυνατότητα της απώθησης κατά τον ίδιο τρόπο είναι που δημιουργεί την ενότητα των πληγμάτων τόσο διαφορετικών ειδών που μπορούν να μας πλήξουν απ’ το ίδιο σημείο του χώρου. Αυτή η διπλή ενότητα είναι που δημιουργεί την ατομικότητα κάθε σημείου στο χώρο, και στην έννοια ενός τέτοιου σημείου δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός απ’ αυτό.
Ο χώρος που περιέγραψα στο προηγούμενο τμήμα, τον οποίο έπρεπε να ονομάσω περιορισμένο χώρο, αναφέρονταν σε άξονες συντεταγμένων που είναι προσαρμοσμένοι στο σώμα μου. Οι άξονες αυτοί ήταν σταθεροί αφού το σώμα μου ήταν ακίνητο και ήταν μόνο τα άκρα μου που άλλαζαν θέση. Σε ποιους φυσικούς άξονες αναφέρεται ο εκτεταμένος χώρος; δηλαδή ο νέος χώρος που μόλις έχω ορίσει; Ορίζουμε ένα σημείο με τη διαδοχή των κινήσεων που απαιτούνται να το φτάσουμε ξεκινώντας από μια αρχική θέση του σώματος. Άρα οι άξονες είναι στερεωμένοι σ’ αυτή την αρχική θέση του σώματος.
Αλλά η θέση που αποκαλώ αρχική μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα ανάμεσα απ όλες τις θέσεις που το σώμα έχει καταλάβει διαδοχικά. Αν μια περισσότερο ή λιγότερο ασυνείδητη ανάμνηση αυτών των διαδοχικών θέσεων είναι αναγκαία για τη γέννηση της έννοιας του χώρου, αυτή η ανάμνηση μπορεί να γυρίσει περισσότερο ή λιγότερο στο παρελθόν. Από εδώ προκύπτει μια αβεβαιότητα στον ίδιο τον ορισμό του χώρου , και ακριβώς αυτή η αβεβαιότητα συνιστά τη σχετικότητά του .
Ο απόλυτος χώρος δεν υφίσταται πια, υπάρχει μόνο χώρος , σχετικός με μια αρχική θέση του σώματος. Για ένα πλάσμα με συνείδηση προσκολλημένο στο έδαφος όπως τα κατώτερα ζώα, το οποίο συνεπώς θα γνώριζε μόνο τον περιορισμένο χώρο, ο χώρος θα ήταν πάλι σχετικός αφού θα αναφέρονταν στο σώμα του, αλλά το πλάσμα αυτό δεν θα είχε συνείδηση της σχετικότητας διότι οι άξονες στους οποίους έχει αναφέρει τον περιορισμένο αυτόν χώρο δεν θα άλλαζαν. Χωρίς αμφιβολία ο βράχος στον οποίο ήταν προσκολλημένο δεν θα ήταν ακίνητος αφού θα μετείχε στην κίνηση του πλανήτη μας. Για μας συνεπώς οι άξονες αυτοί θα άλλαζαν κάθε στιγμή αλλά για αυτό δεν θα άλλαζαν. Έχουμε τη δυνατότητα να αναφέρουμε τον απεριόριστο χώρο μας τη μια στιγμή στη θέση Α του σώματός θεωρώντας την σαν αρχική την άλλη στη θέση Β στην οποία βρίσκονταν μερικά λεπτά αργότερα, την οποία είμαστε ελεύθεροι να θεωρήσουμε με τη σειρά της σαν αρχική, και ακολούθως να πραγματοποιούμε ασυνείδητες αλλαγές στις συντεταγμένες κάθε στιγμή. Η δυνατότητα αυτή διαφεύγει απ’ το φανταστικό μας πλάσμα, και για το ότι δεν έχει μετακινηθεί θα θεωρούσε το χώρο απόλυτο. Κάθε στιγμή το σύστημα των αξόνων του θα του επιβάλλονταν, το σύστημα αυτό θα μπορούσε να μεταβληθεί σε οποιαδήποτε έκταση στην πραγματικότητα , γι αυτό όμως θα ήταν το ίδιο αφού θα ήταν πάντα το μοναδικό σύστημα. Δεν είναι το ίδιο για μας που διαθέτουμε κάθε στιγμή διάφορα συστήματα απ’ τα οποία μπορούμε κάθε στιγμή να επιλέξουμε όποιο θέλουμε, και κατά κανόνα πηγαίνοντας πίσω με τη μνήμη περισσότερο ή λιγότερο στο παρελθόν.
Δεν φτάνουν όμως όλα αυτά όταν ο περιορισμένος χώρος δεν είναι ομογενής, τα διαφορετικά σημεία αυτού του χώρου δεν θα θεωρούνταν ισοδύναμα αφού κάποια μπορούσαμε να τα φτάσουμε με τη μέγιστη προσπάθεια ενώ κάποια άλλα θα τα προσεγγίζαμε εύκολα. Αντίθετα ο εκτεταμένος χώρος μας φαίνεται ομογενής και λέμε ότι σημεία του είναι ισοδύναμα. Τι σημαίνει αυτό;
Αν ξεκινήσουμε από μια ορισμένη θέση Α, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε ορισμένες κινήσεις Μ που χαρακτηρίζονται από έναν ορισμένο συνδυασμό μυϊκών αισθημάτων. Αλλά ξεκινώντας από μια άλλη θέση Β, μπορούμε να εκτελέσουμε τις κινήσεις Μ οι οποίες θα χαρακτηρίζονται απ’ τις ίδιες μυϊκές αισθήσεις. Έστω τότε α, η θέση ενός ορισμένου σημείου στο σώμα μας, για παράδειγμα η κλίση του δείκτη του δεξιού χεριού στην αρχική θέση Α, και έστω β η θέση του ίδιου δείκτη όταν ξεκινώντας απ’ αυτή τη θέση Α εκτελέσουμε τις κινήσεις Μ. Τότε έστω α΄ η θέση του δείκτη στη θέση Β και β΄ η θέση του όταν ξεκινώντας απ’ τη θέση Β, έχουμε εκτελέσει τις κινήσεις Μ 1.
Έχω λοιπόν συνηθίσει να λέω ότι τα σημεία α και β είναι στην ίδια σχέση μεταξύ του όπως και τα σημεία α΄ και β, και αυτό σημαίνει απλά ότι οι δύο σειρές κινήσεων Μ και Μ1 συνοδεύονται απ’ τις ίδιες μυϊκές αισθήσεις. Και καθώς έχω τη συναίσθηση ότι πηγαίνοντας απ’ τη θέση Α στη θέση Β το σώμα μου πετυχαίνει τις ίδιες κινήσεις, γνωρίζω ότι υπάρχει ένα σημείο στο χώρο το οποίο είναι για το α΄ όπως το β για το α,  ώστε τα δύο σημεία α και α΄ είναι ισοδύναμα . Αυτό είναι που ονομάζεται ομοιογένεια του χώρου, και συγχρόνως αυτός είναι ο λόγος που ο χώρος είναι σχετικός , αφού οι ιδιότητές του παραμένουν ίδιες όπου κι αν αναφερθούν, είτε στους άξονες Α είτε στους άξονες Β. Έτσι η σχετικότητα του χώρου και η ομοιογένειά του είναι το ίδιο πράγμα.
Αν τώρα θέλουμε να περάσουμε στον ευρύτερο χώρο, ο οποίος δεν εξυπηρετεί μόνο τη δική μας ατομική χρήση αλλά στον οποίο μπορώ να τοποθετήσω το σύμπαν, θα φτάσω σ’ αυτόν με μια ενέργεια της φαντασίας. Θα φανταστώ τις εμπειρίες ενός γίγαντα, ο οποίος θα έφτανε τους πλανήτες με λίγα βήματα, ή αν προτιμούμε, θα φανταστούμε τα αισθήματά μου στην παρουσία ενός μικροσκοπικού κόσμου, στον οποίο οι πλανήτες αυτοί θα αντικαθιστούνταν από μικρές μπάλες , ενώ σε κάποια απ’ τις μικρές αυτές μπάλες θα κινούνταν ένας Λιλιπούτειος που θα τον ονόμαζα ο εαυτός μου. Αλλά αυτή η ενέργεια της φαντασίας θα ήταν αδύνατη για μένα αν δεν είχα κατασκευάσει προηγουμένως τον περιορισμένο χώρο και τον εκτεταμένο μου χώρο για προσωπική μου χρήση.

IV
Kαι τώρα ερχόμαστε στο ερώτημα γιατί όλοι αυτοί οι χώροι έχουν τρεις διαστάσεις. Ας αναφερθούμε στον «πίνακα κατανομής» για τον οποίο μιλήσαμε παραπάνω. Έχουμε στη μια πλευρά μια λίστα με τους πιθανούς διαφορετικούς κινδύνους –ας τους ονομάσουμε Α1, Α2, κλπ- κι απ’ την άλλη τη λίστα με τους διαφορετικούς τρόπους αντιμετώπισης, τους οποίους θα ονομάσω Β1, Β2 κλπ. Έχουμε επίσης συνδέσεις ανάμεσα στις υποδοχές της πρώτης λίστας με αυτές της δεύτερης με τέτοιον τρόπο ώστε, όταν για παράδειγμα, λειτουργεί ο συναγερμός για τον κίνδυνο Α3, θέτει σε κίνηση  ή μπορεί να θέσει σε κίνηση, τον ηλεκτρονόμο που αντιστοιχεί στον τρόπο αντιμετώπισης Β4.
Όπως έχω αναφέρει παραπάνω για κεντρομόλα ή φυγόκεντρα σύρματα, φοβάμαι πως όλα που έχω πει, μπορούν να ληφθούν, όχι σαν μια απλή σύγκριση αλλά σαν μια περιγραφή του νευρικού συστήματος. Δεν είναι αυτή η σκέψη μου κι αυτό για διάφορους λόγους. Πρώτον δεν θα αποτολμούσα να ανακοινώσω μια γνώμη για τη δομή του νευρικού συστήματος την οποία δεν γνωρίζω, ενώ αυτοί που το έχουν σπουδάσει το κάνουν με περίσκεψη. Δεύτερον, γιατί παρά την αναρμοδιότητά μου καταλαβαίνω πλήρως ότι το σχήμα αυτό θα ήταν υπερβολικά απλό. Και τέλος γιατί στη λίστα των αντιδράσεών μου εμφανίζονται κάποιες που είναι εξαιρετικά σύνθετες , οι οποίες ακόμα και στην περίπτωση του εκτεταμένου χώρου, όπως έχουμε προαναφέρει, συνίστανται σε διάφορα βήματα που ακολουθούνται από μια κίνηση του χεριού. Δεν είναι λοιπόν ζήτημα , μιας φυσικής σύνδεσης ανάμεσα σε δύο πραγματικούς αγωγούς, αλλά ζήτημα ψυχολογικής σύνδεσης ανάμεσα σε δύο σειρές αισθημάτων.
Αν για παράδειγμα οι Α1 και η Α2 συνδέονται με την αντιμετώπιση Β1 και αν η Α2 συνδέεται ομοίως με την Β2, γενικά θα ισχύει ότι τα Α2 και Β2 επίσης θα συνδέονται. Αν αυτός ο θεμελιώδης νόμος δεν ισχύει γενικά ,θα επικρατούσε μόνο μια απέραντη σύγχυση και δεν θα υπήρχε τίποτα που θα μπορούσε να εξομοιωθεί με μια έννοια χώρου ή γεωμετρίας. Πράγματι, πως έχουμε ορίσει ένα σημείο στο χώρο; Το ορίσαμε με δύο τρόπους, απ’ τη μία είναι το σύνολο των κινδύνων Α που συνδέονται με την ίδια απώθηση Β. Απ’ την άλλη είναι το σύνολο των απωθήσεων Β που συνδέονται με τον ίδιο κίνδυνο Α. Αν οι νόμοι μας δεν είχαν αντικειμενική υπόσταση θα ήμασταν υποχρεωμένοι να πούμε ότι τα Α1 και Α2 αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο αφού και τα δύο συνδέονται με το Β1. Αλλά εξ’ ίσου θα υποχρεωνόμασταν να πούμε ότι αυτά δεν αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο, αφού το Α1 θα συνδέονταν με το Β2 και αυτό δεν θα ίσχυε για το Α2, πράγμα που θα δημιουργούσε αντίφαση.
Αλλά από μια άλλη άποψη, αν ο νόμος ίσχυε αυστηρά και αμετάκλητα, ο χώρος θα ήταν τελείως διαφορετικός από ότι είναι. Θα είχαμε σαφείς κατηγορίες στις οποίες θα κατανέμονταν απ’ το ένα μέρος οι κίνδυνοι Α και απ’ το άλλο οι αντιδράσεις Β. Οι κατηγορίες αυτές θα ήταν εξαιρετικά πολυάριθμες αλλά τελείως ξεχωριστές η μία απ’ την άλλη. Ο χώρος θα αποτελούνταν από σημεία , πολυάριθμα αλλά διακεκριμένα : θα ήταν ασυνεχής. Δεν θα υπήρχε λόγος να διευθετήσουμε τα σημεία προτιμώντας μια ορισμένη σειρά από μια άλλη, ούτε συνεπώς να αποδώσουμε στο χώρο τρεις διαστάσεις .
Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Μπορεί να μου επιτραπεί για μια στιγμή να χρησιμοποιήσω τη γλώσσα αυτών που γνωρίζουν ήδη γεωμετρία; Είναι απαραίτητο να το κάνω αφού η γλώσσα αυτή είναι περισσότερο κατανοητή από εκείνους στους οποίους θέλω να διευκρινίσω τις απόψεις μου. Όταν επιθυμώ να αντιδράσω σε μια ενόχληση, προσπαθώ να φτάσω στο σημείο απ’ όπου προέρχεται η ενόχληση, αλλά είναι αρκετό το να το πλησιάσω αρκετά. Τότε η αντίδραση Β1, μπορεί να απαντάει στο Α1 και στο Α2, αν το σημείο που αντιστοιχεί στο Β1 είναι επαρκώς κοντά στο σημείο που αντιστοιχεί στο Α1 και σ’ εκείνο που αντιστοιχεί στο Α2. Αλλά μπορεί να συμβεί ώστε το σημείο που αντιστοιχεί σε μια άλλη απώθηση Β2 να είναι αρκετά κοντά στο σημείο που αντιστοιχεί στην Α1 κι όχι αρκετά κοντά στο σημείο που αντιστοιχεί στο Α2. Κι έτσι η αντίδραση θα μπορούσε να απαντάει στο Α1 και όχι στο Α2.
Γι αυτούς που δεν γνωρίζουν ακόμα γεωμετρία, αυτό μπορεί να μεταφραστεί απλά με μια τροποποίηση του νόμου που έχει εκφραστεί παραπάνω. Τότε συμβαίνουν τα εξής. Δύο αντιδράσεις Β1 και Β2 συνδέονται με ένα ερέθισμα Α1, και με έναν μεγάλο αριθμό ερεθισμάτων που θα τοποθετούσαμε στην ίδια κατηγορία με το Α1 , και θα το αντιστοιχήσουμε με το ίδιο σημείο του χώρου. Αλλά μπορούμε να βρούμε ερεθίσματα Α2 που συνδέονται με το Β2 κι όχι με το Β1, αλλά απ’ την άλλη συνδέονται με το Β3 το οποίο δεν συνδέεται με το Α1, κοκ., έτσι ώστε μπορούμε να γράψουμε την ακολουθία Β1, Α1, Β2, Α2, Β3, Α3, Β4, Α4, στην οποία κάθε όρος συνδέεται με τον προηγούμενο και τον επόμενο, αλλά όχι με αυτούς που είναι σε άλλη θέση.
Δεν χρειάζεται να προσθέσουμε ότι οι όροι αυτών των ακολουθιών δεν είναι απομονωμένοι αλλά αποτελούν τμήμα μιας πολυπληθούς κατηγορίας άλλων ερεθισμάτων ή άλλων αντιδράσεων που έχουν τις ίδιες συνδέσεις και μπορούν να θεωρηθούν ότι ανήκουν στο ίδιο σημείο του χώρου. Έτσι ο θεμελιώδης νόμος , αν και δέχεται εξαιρέσεις , παραμένει σχεδόν πάντα σε ισχύ. Μόνο, σαν συνέπεια αυτών των εξαιρέσεων, οι κατηγορίες αυτές αντί να είναι τελείως χωριστές , σταδιακά υπερβαίνουν η μία την άλλη και επικαλύπτονται αμοιβαία σε κάποιον βαθμό, έτσι ώστε ο χώρος αυτός γίνεται συνεχής.
Επί πλέον η σειρά με την οποία πρέπει να διευθετηθούν οι κατηγορίες αυτές δεν είναι πλέον αυθαίρετη και μια αναφορά στην προηγούμενη ακολουθία θα κάνει σαφές ότι το Β2 πρέπει να τοποθετηθεί ανάμεσα στα Α1 και Α2, και συνεπώς ανάμεσα στα Β1 και Β3 κι όχι για παράδειγμα ανάμεσα στα Β3 και Β4.
Κατά συνέπεια υπάρχει μια σειρά με την οποία ταξινομούνται οι κατηγορίες μας με φυσικό τρόπο, η οποία αντιστοιχεί με τα σημεία στο χώρο και η εμπειρία μας διδάσκει ότι η σειρά αυτή παρουσιάζεται σε έναν πίνακα κατανομής τριών διαδρομών, κι αυτός είναι ο λόγος που ο χώρος έχει τρεις διαστάσεις.

V
Έτσι η χαρακτηριστική ιδιότητα του χώρου, αυτή των τριών διαστάσεων, είναι μόνο μια ιδιότητα του πίνακά μας κατανομής, μια ιδιότητα που εδρεύει, αν μπορούμε να πούμε, στην ανθρώπινη ευφυΐα. Η καταστροφή μερικών απ’ αυτές τις συνδέσεις, δηλαδή απ’ αυτούς τους συνδυασμών των ιδεών, θα ήταν αρκετή να μας δώσει έναν διαφορετικό πίνακα κατανομής , κι αυτό θα ήταν αρκετό να προικίσει το χώρο με μια τέταρτη διάσταση.
Μερικοί άνθρωποι θα εκπλήσσονται από ένα τέτοιο αποτέλεσμα. Πιστεύουν ότι ο εξωτερικός κόσμος σίγουρα πρέπει να λαμβάνεται υπ’ όψη σε κάτι. Αν ο αριθμός των διαστάσεων προέρχεται απ’ τον τρόπο με τον οποίο είμαστε φτιαγμένοι, τότε θα μπορούσαν να υπάρχουν σκεπτόμενα όντα στον κόσμο μας, αλλά διαφορετικά φτιαγμένα από εμάς, που θα σκέφτονταν ότι ο κόσμος μας έχει περισσότερες ή λιγότερες από τρεις διαστάσεις. Δεν έχει ανακοινώσει ο M. De Crayon ότι τα Ιαπωνικά ποντίκια , που έχουν μόνο δύο ζευγάρια ημικυκλικούς σωλήνες στο λαβύρινθο νομίζουν ότι ο χώρος έχει δύο διαστάσεις; Τότε το σκεπτόμενο αυτό ον, αν είναι ικανό να κατασκευάσει ένα φυσικό σύστημα, δεν θα κατασκευάσει ένα σύστημα με δύο ή τέσσερις διαστάσεις, το οποίο κατά μία έννοια θα είναι ίδιο με το δικό μας αφού θα πρόκειται για περιγραφή του ίδιου κόσμου σε άλλη γλώσσα;
Φαίνεται πράγματι ότι θα ήταν πιθανό να μεταφράσουμε το φυσικό μας κόσμο στη γλώσσα της γεωμετρίας των τεσσάρων διαστάσεων . Επιχειρώντας μια τέτοια μετάφραση , θα προκαλούσαμε τεράστια αναστάτωση για λίγο κέρδος , και θα αρκεστώ να αναφέρω τη μηχανική του Hertz όπου μπορούμε να διακρίνουμε κάτι τέτοιο. Ακόμα φαίνεται ότι η μετάφραση θα ήταν λιγότερο απλή απ’ το κείμενο, και ποτέ δεν θα έχανε τα χαρακτηριστικά μιας μετάφρασης γιατί η γλώσσα των τριών διαστάσεων είναι καταλληλότερη για την περιγραφή του κόσμου μας, ακόμα κι όταν η περιγραφή αυτή μπορεί να είναι, όταν είναι αναγκαίο, σε άλλο ιδίωμα.
Επί πλέον ο πίνακας κατανομής μας δεν έχει σχηματιστεί τυχαία. Υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στο ερέθισμα Α1 και στην αντίδραση Β1 , μια σχέση που εδρεύει στην ανθρώπινη ευφυΐα . Όμως γιατί υπάρχει αυτή η σχέση; Διότι η αντίδραση Β1 μας κάνει ικανούς να προστατεύσουμε αποτελεσματικά τους εαυτούς μας απέναντι στον κίνδυνο Α1 και αυτό είναι ένα εξωτερικό γεγονός για μας, μια ιδιότητα του εξωτερικού κόσμου. Ο πίνακάς μας κατανομής λοιπόν, είναι μόνο η μετάφραση μιας συλλογής εξωτερικών γεγονότων. Αν έχει τρεις διαστάσεις είναι γιατί έχει προσαρμοστεί σε έναν κόσμο με καθορισμένες ιδιότητες, και η πιο σπουδαία απ’ αυτές είναι ότι υπάρχουν φυσικά στερεά σώματα τα οποία μετακινούνται σύμφωνα με τους νόμους που τους ονομάζουμε νόμους κίνησης των αμετάβλητων στερεών. Αν λοιπόν η γλώσσα των τριών διαστάσεων είναι αυτή που μας καθιστά ικανούς να περιγράψουμε τον κόσμο μας πιο εύκολα δεν πρέπει να εκπλησσόμαστε. Η γλώσσα αυτή βασίζεται στον πίνακά μας κατανομής και αυτό για να μας κάνει ικανούς να επιβιώσουμε σ’ αυτόν τον κόσμο στον οποίο έχει εγκατασταθεί αυτός ο πίνακας.
Έχω πει ότι θα μπορούσαμε να φανταστούμε σκεπτόμενα όντα, που ζουν στον κόσμο μας , των οποίων ο πίνακας κατανομής έχει τέσσερις διαστάσεις, άρα θα μπορούσαν να σκέφτονται σε έναν υπερχώρο. Δεν είναι βέβαιο όμως ότι τέτοια όντα, δεχόμενοι ότι γεννήθηκαν, θα μπορούσαν να επιβιώσουν και να υπερασπιστούν τους εαυτούς τους ενάντια στους χιλιάδες κινδύνους που θα συναντούσαν.

VI
Λίγες παρατηρήσεις για συμπέρασμα. Υπάρχει μια ζωηρή αντίθεση ανάμεσα στην τραχύτητα αυτής της πρωτόγονης γεωμετρίας η οποία ανάγεται σ’ αυτό που αποκαλώ πίνακα κατανομής, και στην άπειρη ακρίβεια της γεωμετρίας των γεωμετρών. Κι ακόμα η δεύτερη είναι το παιδί της πρώτης, αλλά όχι μόνον αυτής. Θα πρέπει8 να λειανθεί απ’ την ικανότητα που έχουμε να κατασκευάζουμε μαθηματικές έννοιες όπως για παράδειγμα την έννοια της ομάδας. Ήταν αναγκαίο να βρούμε ανάμεσα σ’ αυτές τις καθαρές έννοιες, αυτή που ήταν καταλληλότερη γι αυτόν τον ακατέργαστο χώρο, του οποίου τη γένεση προσπάθησα να εξηγήσω στις προηγούμενες σελίδες, του χώρου που είναι κοινός σε μας και στα κατώτερα ζώα.
Το προφανές των διάφορων γεωμετρικών αξιωμάτων, προέρχεται όπως έχω πει, απ’ την απροθυμία μας να εγκαταλείψουμε παλιές συνήθειες. Αλλά τα αξιώματα αυτά είναι απείρως ακριβή ενώ οι συνήθειες που έχουμε σχετικά με αυτά, ουσιαστικά ασαφείς. Μόλις θελήσουμε να σκεφτούμε, δεσμευόμαστε από απείρως ακριβή αξιώματα, αφού είναι το μόνο μέσο για να αποφύγουμε αντιφάσεις. Αλλά ανάμεσα σε όλα τα συστήματα αξιωμάτων, υπάρχουν μερικά που είμαστε απρόθυμοι να επιλέξουμε, γιατί δεν συμφωνούν ικανοποιητικά με τις συνήθειές μας. Οσοδήποτε ασαφείς και ελαστικές κι αν είναι αυτές, έχουν ένα όριο ελαστικότητας.
Θα φανεί ότι η γεωμετρία αν και δεν είναι μια πειραματική επιστήμη , είναι επιστήμη που έχει γεννηθεί σε σχέση με την εμπειρία, ότι έχουμε δημιουργήσει το χώρο που μελετάει, αλλά προσαρμόζοντάς τον στο χώρο που ζούμε. Έχουμε επιλέξει τον καταλληλότερο χώρο, αλλά η εμπειρία μας οδήγησε στην επιλογή μας αυτή. Καθώς η επιλογή ήταν ασυνείδητη, φαίνεται να μας επιβλήθηκε. Κάποιοι λένε ότι μας επιβλήθηκε απ’ την εμπειρία και άλλοι ότι γεννηθήκαμε με το χώρο μας έτοιμο. Μετά τις προηγούμενες σκέψεις μας θα φανεί τι αναλογία αλήθειας και σφάλματος υπάρχει στις δύο αυτές απόψεις.
Σ’ αυτή την εξελισσόμενη εκπαίδευσή μας που έχει προκύψει κατά την κατασκευή του χώρου, είναι πολύ δύσκολο να καθοριστεί ποιο είναι το μερίδιο του ατόμου και ποιο της φυλής μας ολόκληρης. Σε ποιο βαθμό θα μπορούσε κάποιος από εμάς που έχει μεταφερθεί απ’ τη γέννησή του σε έναν τελείως διαφορετικό κόσμο, όπου για παράδειγμα θα υπήρχαν σώματα που μετατοπίζονταν σύμφωνα με τους κανόνες κίνησης των μη Ευκλείδειων στερεών, σε ποιο βαθμό λέω θα ήταν ικανός να εγκαταλείψει τον προγονικό χώρο οικοδομώντας έναν τελείως διαφορετικό χώρο;
Το μερίδιο της φυλής φαίνεται να υπερτερεί σε μεγάλο βαθμό, και ακόμα αν οφείλουμε σε αυτή τον ακατέργαστο χώρο, το ασαφή χώρο για τον οποίο μόλις έχω μιλήσει, το χώρο των ανώτερων ζώων, δεν είναι η ασυνείδητη εμπειρία του ατόμου στην οποία οφείλουμε τον απείρως ακριβή χώρο των γεωμετρών; Αυτή είναι μια ερώτηση που δεν είναι εύκολο να απαντηθεί. Θα ανέφερα όμως ένα γεγονός το οποίο δείχνει ότι ο χώρος που μας κληροδότησαν οι πρόγονοί μας, εξακολουθεί να διατηρεί κάποια πλαστικότητα. Κάποιοι κυνηγοί μαθαίνουν να πυροβολούν ψάρια κάτω απ’ το νερό, αν και η εικόνα τους είναι ανυψωμένη λόγω διάθλασης. Και επί πλέον δεν το κάνουν ενστικτωδώς. Άρα έχουν μάθει να τροποποιούν το αρχαίο ένστικτο της κατεύθυνσης ή αν προτιμάτε να αντικαθιστούν τη σύνδεση Α1 , Β1 με μια άλλη σύνδεση Α1, Β2, γιατί η εμπειρία τους έχει δείξει ότι η πρώτη δεν σημειώνει επιτυχία.
ΤΕΛΟΣ

1 Στη συνέχεια αναλύω την υπόθεση της συστολής του μήκους μέσα απ’ την ερμηνεία του πειράματος των MichelsonMorley.
2 Εννοεί εδώ σαφώς την ταχύτητα του φωτός ως προς τον αιθέρα, κι όχι ως προς τα διάφορα σώματα που κινούνται μεταξύ τους.
3 Γιατί τότε η φωτεινή ακτίνα θα συμπεριφέρονταν όπως η προηγούμενη ράβδος μέτρησης.
4 Εδώ γίνεται η πρώτη νύξη για τη σχετικότητα του μήκους. Όμως την παραμόρφωση αυτή, που περιγράφεται κι απ’ την θεωρία της σχετικότητας , ποτέ δεν την είδαμε! «…είναι ένα εκπληκτικό γεγονός το ότι δεν φαίνεται να υπάρχει μια άμεση ή απλή πειραματική επαλήθευση της συστολής του μήκους. Όμως δεν υπάρχει λόγος να αμφισβητήσουμε την ύπαρξη του φαινομένου ακριβώς όπως αναφέρεται στη θεωρία. Οι δυσκολίες 1. να εξασφαλίσουμε ένα αντικείμενο με υπολογίσιμο μήκος που να κινείται με ταχύτητα συγκρίσιμη με το φως 2. να καθορίσουμε δύο γεγονότα, καθένα σε κάθε άκρο του που είναι ταυτόχρονα για τον παρατηρητή, έχουν αποδειχτεί ανυπέρβλητες. Αυτό το πολύ θεμελιώδες συμπέρασμα της θεωρίας περιμένει αληθινή (συγκεκριμένη) απόδειξη…»Albert Shadowitz.
5 Μας έρχονται στο νου οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου ή Lorentz, όπου τα δύο σύμπαντα είναι τα δύο συστήματα αναφοράς και η σταθερή τους σχέση η ομοιόμορφη κίνηση
6 Οι απόψεις αυτές του Poincare, αναλύονται πιο συστηματικά στο βιβλίο μου ¨Η αλήθεια της γεωμετρίας¨ όπου παρουσιάζεται και το Ευκλείδειο μοντέλο Poincare για την υπερβολική γεωμετρία.
7 Ο όρος αυτός θα αναφέρεται στη συνέχεια.
8 Η πρωτόγονη γεωμετρία (σημ. του μεταφ.)

                                                                                    Γιώργος Μπαντές
                                                                                    www.mpantes.gr

Δεν υπάρχουν σχόλια: