Ο Πυθαγόρας και η μαθηματική απόδειξη

το σχόλιο αυτό για τον Πυθαγόρα και τη γέννηση της επιστήμης των Μαθηματικών, το έστειλε ο φίλος μαθηματικός Γιώργος Μπαντές, www. mpantes.gr

1. Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ-ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ

Κατά την περίοδο μετά τον 6^ο πχ αιώνα , ένας πολιτισμός νέου τύπου έκανε την εμφάνισή του στους πιο δημιουργικούς λαούς στα παράλια της Μικράς Ασίας, της Ελλάδας και της Ιταλίας. Μέσα από τον πολιτισμό αυτό, γεννήθηκαν και τα Μαθηματικά.

Ήταν τότε που οι Έλληνες ανακάλυψαν την αφαίρεση, τον παραγωγικό συλλογισμό¹ και τελικά τη μαθηματική απόδειξη , μια νέα

μορφή αντίληψης και σκέψης, μετατρέποντας τον εμπειρικό λογισμό των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, σε αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως Μαθηματική επιστήμη. Έκριναν δηλαδή ότι οι γεωμετρικές αλήθειες –ο πρώτος παραγωγικός συλλογισμός έγινε στο πεδίο της Γεωμετρίας – έπρεπε να επαληθεύονται με λογική απόδειξη κι όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, (π.χ μετρήσεις) κι αυτό είναι το λεγόμενο Ελληνικό μυστήριο. Στο σημείο αυτό ξεκίνησε η μηχανή του Λόγου που έκτοτε δεν σταμάτησε ποτέ, κάποτε καθυστέρησε, και τελικά γέννησε την Επιστήμη.

Οι Πυθαγόρειοι και ο Θαλής ο Μιλήσιος, ήταν οι πρώτοι που πρωτοαντίκρυσαν έκπληκτοι τον μαθηματικό αυτό κόσμο της φαντασίας που φανερώθηκε μπροστά τους, μέσα από τον παραγωγικό συλλογισμό. Το χαρακτηριστικό γεγονός της απαρχής του Ελληνικού τρόπου της γεωμετρίας είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο χαρακτηρίζεται από πολλούς ερευνητές ως η μεγαλύτερη στιγμή της Μαθηματικής σκέψης. Είναι γνωστό σήμερα ότι οι Αρχαίοι Βαβυλώνιοι που έζησαν χίλια χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα, γνώριζαν το θεώρημά του. Βέβαιο είναι εξ άλλου ότι το θεώρημα γνώριζαν και οι Αιγύπτιοι τοπογράφοι και μηχανικοί. Όμως όλες οι μη Ελληνικές αναφορές στο θεώρημα δεν περιέχουν κάποια απόδειξή του. Άρα πρέπει να είναι αληθές ότι ο Πυθαγόρας (ή κάποιο μέλος της Σχολής που ίδρυσε ο ίδιος) ήταν εκείνος που πρώτος έδωσε μια (λογική) απόδειξη του θεωρήματος.(Η. Eves, Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών.)

Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω b ,c οι κάθετες πλευρές και a η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου . Κατασκευάζουμε δύο ίσα τετράγωνα με πλευρά ίση με b+c . Διαμερίζουμε το τετράγωνο (Ι) σε έξη μέρη και το (ΙΙ) σε πέντε μέρη . Αφαιρώντας από το (Ι) τα τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα απομένουν δύο τετράγωνα με πλευρές b και c αντίστοιχα. Αφαιρώντας από το (ΙΙ) τα τέσσερα πάλι ίσα ορθογώνια τρίγωνα (προς το αρχικό) απομένει ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με την υποτείνουσα α του αρχικού τριγώνου. Άρα τα δύο τετράγωνα με πλευρές b, και c ισοδυναμούν (ως προς το εμβαδόν) με το τετράγωνο πλευράς a δηλαδή b²+c²=a² .Tο ότι το εσωτερικό τετράπλευρο στο τετράγωνο (ΙΙ) είναι τετράγωνο βασίζεται στην πρόταση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές , και αυτή πάλι σε ιδιότητες των παραλλήλων ευθειών πράγμα που μας κάνει να αποδίδουμε τη θεωρία των προτάσεων αυτών στους Πυθαγόρειους.

Στη διαδικασία αυτή μπορούμε να διακρίνουμε τη γνωστή πορεία της απόδειξης:

Α. την αφαίρεση (το τρίγωνο είναι τυχόν ορθογώνιο, αφηρημένο , όχι συγκεκριμένο ξύλινο ή κάτι φυσικό που έχει πλευρές συγκεκριμένους αριθμούς),

Β. τον παραγωγικό συλλογισμό:

1. τα τετραπλάσια ίσων είναι ίσα

2. αν από ίσα αφαιρέσω ίσα μένουν ίσα

3. το συμπέρασμα: αν από ίσα αφαιρέσω τετραπλάσια ίσων (ώστε να αφαιρούνται ) μένουν ίσα.

Γ. Την απόδειξη, που είναι ολόκληρη αυτή η διαδικασία.

Οι Πυθαγόρειοι κατά τη διάρκεια δύο αιώνων παρήγαγαν αξιόλογα μαθηματικά αποτελέσματα με τη ν έ α μ έ θ ο δ ο τ η ς α π ό δ ε ι ξ η ς.²

Ανέπτυξαν τις ιδιότητες των παραλλήλων ευθειών και τις χρησιμοποίησαν να αποδείξουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές. Ανέπτυξαν μια θεωρία αναλογιών, αν και αναφέρονταν μόνο σε σύμμετρα μεγέθη, και με αυτή έδειξαν ιδιότητες των ομοίων σχημάτων. Ακόμα συνεισέφεραν σε αυτό που ονομάζουμε Ελληνική Γεωμετρική Άλγεβρα, εφευρίσκοντας το γεωμετρικό ισοδύναμο των πράξεων και της εξαγωγής τετραγωνικών ριζών, ακόμα επιλύοντας γεωμετρικά τη δευτεροβάθμια εξίσωση (με πραγματικές ρίζες).

Εξ’ άλλου οι βασικές έννοιες της Αριθμητικής³ , ειδικότερα η μελέτη των φυσικών αριθμών και των κλασμάτων, θεμελιώθηκαν από τους Πυθαγόρειους οι οποίοι «είχαν ξετρελαθεί από την ανεξάντλητη ποικιλία των φυσικών αριθμών, τις προσωπικότητές τους». Δεν έβλεπαν τους αριθμούς σαν σύμβολα για τις ποσότητες, αλλά σαν αυτοτελείς και πραγματικές ουσίες. Ήταν όντα, και η αρχή του κόσμου ήταν η άϋλη μορφή του, όχι η ύλη. «Ήταν γοητευμένοι από τους 1,3,6, και 10, γιατί αυτοί οι αριθμοί μπορούσαν να εκφραστούν γεωμετρικά ως τρίγωνα που σχηματίζονται από τόσα τρίγωνα όσα δηλώνει ο αριθμός. Ανακάλυψαν το χαρακτηριστικό των πρώτων αριθμών , ακόμα ότι ορισμένοι αριθμοί όπως ο 6, 28, και 496 μπορούσαν να εκφραστούν ως άθροισμα των διαιρετών τους, βρήκαν ότι υπάρχουν τρίγωνοι και τετράγωνοι αριθμοί, κλπ…..David Berlinski, Ανάβαση στο άπειρο….» και τελικά έφτασαν να...πιστεύουν στους αριθμούς. Ήταν η πρώτη αντίδραση των ανθρώπων σε αυτά τα γοητευτικά πλάσματα της φαντασίας. Ο «αριθμός είναι η πρώτη αρχή, η ουσία όλων των πραγμάτων, κάτι που δεν μπορεί να οριστεί, ακατανόητο, το παν αριθμός» έγραψαν οι Πυθαγόρειοι και έβλεπαν παντού στη φύση, αριθμούς και αριθμητικές σχέσεις: «η αρμονία και η συμμετρία που διέπει τις σχέσεις των πραγμάτων και το σύμπαν είναι συνέπειες των σχέσεων που επικρατούν μεταξύ των αριθμών…τα πάντα έχουν γίνει κατά τους φυσικούς αριθμούς» Ο Αριστοτέλης παρατηρεί ότι παρήγαγαν τον κόσμο από τους αριθμούς. Το δόγμα αυτό εκφράστηκε από το Φιλόλαο, έναν φημισμένο Πυθαγόρειο του 5^ου αιώνα : «αν δεν υπήρχαν οι αριθμοί και η φύση τους, τίποτα από ό,τι υπάρχει θα ήταν σαφές στον οποιοδήποτε, είτε το ίδιο, είτε σε σχέση με άλλα πράγματα…μπορείτε να δείτε τη δύναμη του αριθμού όχι μόνο στα θεία και δαιμόνια πράγματα, αλλά σε όλες τις δραστηριότητες και τις σκέψεις των ανθρώπων, τα τεχνήματά τους και τη μουσική».

Όμως δεν κατάφεραν ποτέ να εξηγήσουν τι εννοούσαν όταν έλεγαν ότι ο αριθμός είναι η ουσία των πάντων. Πάλι ο Αριστοτέλης σημειώνει ότι «είναι αδύνατον τα φυσικά σώματα να αποτελούνται από αριθμούς αν μη τι άλλο επειδή τα φυσικά σώματα βρίσκονται σε κίνηση ενώ οι αριθμοί όχι.»

ΤΟ «ΛΟΓΙΚΟ ΣΚΑΝΔΑΛΟ» ΤΩΝ ΑΡΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ-Η ΠΡΩΤΗ ΚΡΙΣΗ

Το μεταφυσικό αυτό μεθύσι των Πυθαγορείων από τους αριθμούς, δημιούργησε τη Πυθαγόρεια φιλοσοφία, την οποία όμως διέλυσε η παραπέρα εξέλιξη της ίδιας της Μαθηματικής επιστήμης.

Το κρίσιμο γεγονός το οποίο συνέβη τον 5^ο π.Χ αιώνα, (η πρώτη κρίση των Μαθηματικών), ήταν η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών (π.χ ο √2). Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι η πρώτη απόδειξη που ο δ η γ ε ί στην ύπαρξή τους. Το γεγονός αυτό ήταν ο καταλύτης της επερχόμενης αξιωματικής μεθόδου.

Απόδειξη⁴ αφού οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από όλους τους αριθμούς της μορφής κ/λ όπου κ,λ ακέραιοι με λ≠0, θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι κ, λ τέτοιοι ώστε, κ/λ=√2. Αυτό σημαίνει ότι ο √2 δεν είναι ρητός αριθμός , δηλαδή είναι εξ’ ορισμού άρρητος.

Έστω αντίθετα ότι υπάρχουν δύο ακέραιοι κ,λ ώστε κ/λ=√2, όπου χωρίς απώλεια της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κ και λ δεν έχουν κοινό διαιρέτη εκτός της μονάδας. Τότε κ²=2λ² δηλαδή ο κ² είναι άρτιος άρα και ο κ είναι άρτιος (αφού το τετράγωνο ενός περιττού είναι περιττός). Θέτουμε κ=2ν. Tότε βρίσκουμε ότι 4ν²=2λ² ή λ²=2ν² δηλαδή πάλι έχουμε ότι ο λ είναι άρτιος. Όμως αυτό είναι αδύνατο αφού υποθέσαμε ότι οι κ και λ δεν έχουν κοινό παράγοντα άλλον από το 1. Έτσι η υπόθεση ότι ο √2 είναι ρητός μας οδηγεί σε μια λογική αντίφαση.

Το αποτέλεσμα ήταν εντυπωσιακό και συγχρόνως ενοχλητικό σε πολλά πεδία.

Αρχικά έδινε τη χαριστική βολή στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία ότι όλα εξαρτώνται από τους ακεραίους. Αν δεν μπορούμε να παραστήσουμε με αριθμό την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές τη μονάδα (η υποτείνουσα √2), τότε μένουν ελάχιστα από τη μεγάλη Πυθαγόρεια πρόταση ότι ο αριθμός είναι η ουσία των πάντων. Η τάξη του κόσμου χαλούσε αφού ο √2 δεν ήταν αριθμός, με την έννοια ότι δεν μπορούσε να γίνει γνωστός, να ειπωθεί, εξ’ ου και το άρρητος, αλλά όμως εκπροσωπούσε το μήκος ενός τμήματος. Τι αριθμός και τι τμήμα ήταν αυτό;

Στη γεωμετρία προέκυπτε ότι σε αντίθεση με τη διαίσθηση, η έννοια των αρρήτων γεννούσε αντίστοιχα την έννοια των ασύμμετρων ευθυγράμμων τμημάτων και κατ’ επέκταση των ασύμμετρων μεγεθών. Ενώ ήταν κοινή πεποίθηση-υπόθεση ότι τα μεγέθη του ίδιου είδους είναι σύμμετρα, δηλαδή πολλαπλάσια κάποιας κοινής μονάδας, αποκαλύφτηκε ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα τα οποία δεν έχουν κοινή μονάδα μέτρησης (ασύμμετρα). Για παράδειγμα η πλευρά α και η διαγώνιος δ ενός τετραγώνου δεν μπορούν να μετρηθούν με την ίδια μονάδα.  Η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου είναι ασύμμετρα μεγέθη. Τα ασύμμετρα μεγέθη λες και ανήκαν σε διαφορετικούς κόσμους. Τώρα, ολόκληρη η θεωρία αναλογιών των Πυθαγορείων με όλες τις συνέπειές της, φαίνονταν εσφαλμένη. Η θεωρία αυτή ίσχυε για την περίπτωση των αριθμών (ρητών) και των συμμέτρων μεγεθών. Πράγματι :

Ο ορισμός της Πυθαγόρειας αναλογίας είναι:

Αν Α και Β δύο μεγέθη και Γ και Δ δύο άλλα μεγέθη , όχι κατ’ ανάγκη ομοειδή με τα πρώτα. Τότε Α/Β=Γ/Δ αν και μόνο αν, το Α είναι το ίδιο πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του Β όπως το Γ είναι του Δ.

Δηλαδή ο ορισμός προϋποθέτει ότι δύο τυχόντα μεγέθη είναι πάντοτε σύμμετρα. Σύμφωνα όμως με το «λογικό σκάνδαλο»⁵ των

αρρήτων , αυτό δεν συμβαίνει. Άρα ο ορισμός και

ολόκληρη η θεωρία των αναλογιών έπρεπε να ανασκευαστεί. Πρέπει να προστεθεί στον ορισμό ότι πρόκειται για σύμμετρα μεγέθη, όμως τι θα συνέβαινε αν αυτά ήταν ασύμμετρα; Θα χρειάζονταν νέος ορισμός της αναλογίας;

Το σκάνδαλο των αρρήτων ήταν λοιπόν διπλό: στην Αριθμητική και στη Γεωμετρία, στις δύο περιοχές της μαθηματικής επιστήμης της εποχής. Η αξιωματική μέθοδος που γεννήθηκε από την πρώτη αυτή κρίση των μαθηματικών, έλυσε το πρόβλημα των ασύμμετρων μεγεθών στη Γεωμετρία. Η αριθμητική λύση, τι είναι δηλαδή ο άρρητος αριθμός, άργησε κάμποσους αιώνες.

Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ

Μέσα από το έργο των Πυθαγορείων του νέου παραγωγικού μαθηματικού λογισμού, «άρχισαν να αναδύονται αλυσίδες προτάσεων στις οποίες διαδοχικές προτάσεις παράγονταν από προηγούμενες. Και καθώς οι αλυσίδες μάκραιναν , και κάποιες συμπλέκονταν με άλλες , άρχισε να διαφαίνεται η φοβερή ιδέα να αναπτυχθεί ολόκληρη η γεωμετρία σε μια μοναδική αλυσίδα προτάσεων ,» (H.Eves: θεμελίωση και βασικές έννοιες των Μαθηματικών) .

Έτσι προέκυψε η ιδέα της αξιωματικής μεθόδου, δηλαδή των γενικών αρχών προτύπων που θα πρέπει να πληροί κάθε αποδεικτική επιστήμη, με πιο λαμπρό πεδίο εφαρμογής τη γεωμετρία, όπου είχε συμβεί ο πρώτος παραγωγικός συλλογισμός. Τώρα η Γεωμετρία θα μετατραπεί σε μια γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ή θ ε ω ρ ί α.

Την αξιωματική μέθοδο την ανέπτυξε θεωρητικά ο Αριστοτέλης⁶ και την εφάρμοσε σε ολόκληρη τη γεωμετρία ο Ευκλείδης. Όμως η πρώτη εμφάνισή της έγινε τον τέταρτο αιώνα από τον Εύδοξο ο οποίος ανασκεύασε τη θεωρία των αναλογιών των Πυθαγορείων, ώστε να ισχύει και για αρρήτους αριθμούς. Ο Εύδοξος κινήθηκε διαισθητικά, αντιλαμβανόμενος την εξαιρετική σπουδαιότητα μιας λεπτομερούς συμφωνίας για το τι θα έπρεπε να λαμβάνουμε ως βασικές υποθέσεις. Έτσι αν θεωρήσουμε την ανακάλυψη των αρρήτων σαν την αρχή της αξιωματικής μεθόδου, η τιμή της ανακάλυψης πρέπει να αποδοθεί στον Εύδοξο.

Το θεωρητικό μανιφέστο της αξιωματικής μεθόδου, δηλαδή της μεθοδολογίας των μαθηματικών, το βρίσκουμε στα «Αναλυτικά ύστερα» του Αριστοτέλη. Εκεί παρουσιάζονται οι γενικές αρχές που θα πρέπει να πληροί κάθε αποδεικτική επιστήμη, οι οποίες κατ’ ουσία είναι ίδιες. Αυτές θα πρέπει να στρέφονται γύρω από τρία πράγματα.

Εκείνα που θεωρεί ότι υπάρχουν, οι ορισμοί του γένους της επιστήμης, οι οποίοι απλά εξηγούν τη σημασία των όρων που εμπλέκονται στο εγχείρημα (π.χ ο ορισμός στα Στοιχεία: μια οξεία γωνία είναι μια γωνία μικρότερη μιας ορθής γωνίας).

Οι κοινές αρχές, που είναι γενικές αρχές που ισχύουν σε κάθε πεδίο μελέτης, σε κάθε επιστήμη και θεωρούνται αυταπόδεικτες (αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν ίσα).

Τα αξιώματα (αιτήματα) για τα οποία η επιστήμη θεωρεί δεδομένο το τι σημαίνουν και συνδέονται με μια συγκεκριμένη επιστήμη. Το αξίωμα το δεχόμαστε ως αληθινό έστω κι αν αυτό δεν αποδεικνύεται ως λογικό, ούτε είναι απόλυτα φανερό. Είναι η πνευματική σφραγίδα του δημιουργού της θεωρίας. Για παράδειγμα στην κλασσική μηχανική, τα Αριστοτελικά αξιώματα είναι οι νόμοι του Νεύτωνα. Ακόμα, στην ειδική σχετικότητα, οι δύο προτάσεις του Αïνστάιν: η ισοδυναμία των συστημάτων αναφοράς στην έκφραση των φυσικών νόμων και η σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός. Στην «Ευκλείδεια Γεωμετρία» τα πέντε γνωστά αξιώματα του Ευκλείδη με διασημότερο το 5^ο, ( από σημείο εκτός ευθείας μία μόνο παράλληλη άγεται προς την αρχική).

Οι συνδυασμοί των τριών αυτών όρων θα παράγουν μέσω του παραγωγικού συλλογισμού την αποδεικτική επιστήμη, για τα μαθηματικά θα παράγουν τα θεωρήματα.

Ο Ευκλείδης (3^ος αιώνας ) εφάρμοσε τη διδασκαλία του Αριστοτέλη στο διάσημο και αιώνιο έργο του «τα Στοιχεία». Εκεί συναρμολόγησε τη θεωρία της Γεωμετρίας σε ένα ασφαλές λογικό σύνολο, βασισμένο στα πέντε αξιώματά του, που απετέλεσε το φάρο μιας παγκόσμιας παραδοχής: «Επιστήμη είναι η γνώση που θεμελιώνεται πάνω σε μερικές γενικές αρχές και παράγεται με τη λειτουργία των νόμων της Λογικής μέσα σε ένα σύνολο από σχετικές έννοιες»⁷.

1 παραγωγικός συλλογισμός είναι η πορεία που ακολουθεί ο νους για να φτάσει στο συμπέρασμα όταν από μια γενική πρόταση (κανόνα, νόμο, αρχή) ως αποδεδειγμένη παραδοχή, ή ως εύλογη υπόθεση, και με το συσχετισμό συναφών προς αυτήν κρίσεων, καταλήγει σε κάτι ειδικό. Στον παραγωγικό συλλογισμό δεν ενδιαφερόμαστε για την αλήθεια του συμπεράσματος αλλά περισσότερο το αν το συμπέρασμα προκύπτει ή δεν προκύπτει από τις υποθέσεις (προκείμενες) (Παπανούτσος, Λογική). Αν αυτό συμβαίνει λέμε ότι ο συλλογισμός είναι έγκυρος, αν όχι, άκυρος. Π.χ οι άνθρωποι είναι θνητοί, ο Γιώργος είναι άνθρωπος , άρα ο Γιώργος είναι θνητός. Αυτό είναι ένα παράδειγμα παραγωγικού συλλογισμού που συνδέει τις αρχικές κρίσεις (προκείμενες), με την τελική (συμπέρασμα). Αν δεχτούμε τις δύο προκείμενες, τότε είμαστε λογικά εξαναγκασμένοι, ακολουθώντας τις αποδεκτές αρχές της Αριστοτελικής λογικής, να δεχτούμε και το συμπέρασμα.

2 Ο περιπατητικός Εύδημος ο Ρόδιος στον οποίο οφείλουμε την πρώτη Ιστορία της Γεωμετρίας θεωρεί τον Πυθαγόρα ως τον πραγματικό ιδρυτή της Μαθηματικής επιστήμης και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας (Αναστασιάδης, η Ιστορία των Μαθηματικών στους αρχαίους Έλληνες.)

3 Οι Έλληνες είχαν ειδική λέξη για τα μαθηματικά της αριθμητικής (πέρα από τη λ ογ ι σ τ ι κ ή που αναφέρονταν σε πράξεις για πρακτικούς σκοπούς, εμπόριο, τέχνη κλπ), ήταν η Α ρ ι θ μ η τ ι κ ή, που αναφέρονταν στη μελέτη της έννοιας του αριθμού, τις αρχές και τις εφαρμογές της στη φύση.

4 Η απόδειξη φαίνεται ότι ήταν γνωστή στον Αριστοτέλη.

5 Ήταν τόσο μεγάλο το λογικό σκάνδαλο ώστε σύμφωνα με φήμες έγιναν προσπάθειες να κρατηθεί μυστικό. Ένας θρύλος λέει ότι ο πυθαγόρειος Ίππασος από το Μεταπόντιο εξαφανίστηκε στη θάλασσα , επειδή φανέρωσε το μυστικό στους ξένους.

6 Ο Αριστοτέλης βέβαια δεν ήταν μαθηματικός αλλά αυτός που ανέπτυξε τη διδασκαλία της τυπικής λογικής και βρήκε στα μαθηματικά εξαιρετικό έδαφος για τη μελέτη του λογικού συλλογισμού, αφού η μαθηματική απόδειξη ήταν ένας αυστηρός λογικός συλλογισμός.

7 Η Γεωμετρία χρειάζεται (όπως εξ άλλου και η αριθμητική), για την επακόλουθη ορθή σύνδεσής της, λίγες μόνο απλές και θεμελιώδεις προτάσεις. Οι εν λόγω προτάσεις καλούνται αξιώματα της Γεωμετρίας, (D.Hilbert)