ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΝΕΧΕΣ

Ο Ζήνων ο Ελεάτης(περίπου 488-436;πΧ),
ήταν μαθητής του Παρμενίδη (επίσης από την
Ελέα της Ν. Ιταλίας) τις αντιλήψεις του οποίου
για το αμετάβλητο "είναι"  προσπάθησε να υπερασπίσει,
αποδομώντας τη λογική των αντιπάλων του
και κυρίως των Πυθαγορείων.

Γράφει ο  μαθηματικός Γιώργος Μπαντές.

 Ο Ζήνων δημιούργησε πιθανόν σαράντα παράδοξα αλλά είναι γνωστά μόνο τα εννέα. Το πιο φημισμένο είναι αυτό του Αχιλλέα και της χελώνας, όμως θα αναλύσουμε το πρώτο από τα παράδοξα (παράδοξο της διχοτομίας), που είναι ευκολότερα κατανοητό και περιέχει τα στοιχεία για την ερμηνεία όλων των άλλων. Αυτό έχει ως εξής:

Αν ένα σώμα κινείται από το Α στο Β , τότε πριν φτάσει στο Β, περνάει από το μέσον, έστω Β₁ του ΑΒ. Τώρα κινούμενο από το Β₁ πρέπει πρώτα να φτάσει στο μέσο Β₂ του Β₁Β, και συνεχίζοντας την ίδια περιγραφή βλέπουμε ότι το σώμα πρέπει να κινηθεί δια μέσου ενός άπειρου αριθμού αποστάσεων, δηλαδή θα κινείται επ’ άπειρο, άρα δεν φτάνει ποτέ στο Β, αφού δεν υπάρχει τελευταίος όρος στην ακολουθία των σημείων, δηλαδή ουσιαστικά η κίνηση είναι μόνο φαινομενική και δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα! Ήταν πράγματι παράδοξο κι’ όμως ο Ζήνων είχε δίκιο στην εποχή του.

Τα παράδοξα του Ζήνωνα (450 π.Χ) , αναφέρονται σε μεταβολές (κίνηση) και αναδεικνύουν μια ασυμφωνία μεταξύ της εμπειρίας και της μαθηματικής της ερμηνείας της εποχής του.

Όμως οι μεταβολές μελετώνται μαθηματικά από τον (Απειροστικό) Λογισμό, άρα η μαθηματική διερεύνηση των παραδόξων θα αναφέρεται στο Λογισμό και όπως θα δούμε θα φτάνει μέχρι τα λογικά θεμέλιά του. Ο Ζήνων δεν γνώριζε το Λογισμό, και με τα μαθηματικά της εποχής του κατέληξε σε παράδοξα. Όμως μας προετοίμασε για το τι είδους προβλήματα θα συναντούσαμε όταν θα μελετούσαμε μεταβολές του πραγματικού κόσμου. Χρειάστηκαν είκοσι πέντε αιώνες για να μπορέσουν να επιλυθούν τα προβλήματα στη θεμελίωση του Απειροστικού Λογισμού, τα οποία ερμήνευαν και τα παράδοξα του Ζήνωνα.

Έτσι τα παράδοξα παρέμειναν μέσα στο σώμα των Μαθηματικών σαν σαράκι για πολλούς αιώνες, -οι ερμηνείες του Αριστοτέλη ήταν οι μοναδικές μέχρι το 19^ο αιώνα, αλλά δεν ήταν μαθηματικές ερμηνείες- και αναγνωρίστηκαν αργότερα ως η απαρχή του προβλήματος μιας αυστηρής θεμελίωσης του Λ ο γ ι σ μ ο ύ, ο οποίος ανακαλύφτηκε από τους Νεύτωνα και Λάιμπνιτς κατά τα τέλη του 17^ου αιώνα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί προσπάθησαν στην κατεύθυνση αυτή να εξορίσουν τη διαίσθηση και τον τυφλό χειρισμό από την Ανάλυση ¹,

αλλά ο Ζήνων ήταν ο πρώτος που αντιμετώπισε τις επ’ άπειρο διαδικασίες με βάση αποκλειστικά τη διαίσθηση. Χρειάστηκε πολύς χρόνος ώστε οι φιλόσοφοι της επιστήμης να δεχτούν ότι κάθε θεωρητική έννοια που χρησιμοποιούνταν σε μια φυσική θεωρία δεν ήταν υποχρεωτικό να έχει το αντίστοιχό της στην εμπειρία μας (Λογικός θετικισμός). Τα μαθηματικά και οι αριθμοί είναι όντα της Λογικής και αφού η εμπειρία μας είναι πεπερασμένη, πώς θα προσεγγίσουμε εμπειρικά το μαθηματικό άπειρο;

Το πρώτο αποτέλεσμα των παραδόξων ήταν να αλλάξει η ατζέντα των Ελλήνων μαθηματικών. Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν μπόρεσαν να τα ερμηνεύσουν, και με πρότυπο την κρίση των αρρήτων, μετέφεραν τον προβληματισμό τους για τις επ’ άπειρο διαδικασίες, στη Γεωμετρία. Όπως δηλαδή δεν μπόρεσαν να δουν τους αρρήτους ως αριθμούς ενταγμένους στους ρητούς και μετέφεραν την κατάσταση στα ασσύμετρα μεγέθη, έτσι και τώρα, μετέφεραν τις επ’ άπειρο διαδικασίες των παραδόξων, στη γεωμετρία, μακριά από τους αριθμούς, στα σχήματα (μέθοδος της εξάντλησης, πάλι Εύδοξος) .

Η επαναφορά της κατάστασης στους αριθμούς έγινε κατά το 17^ο αιώνα , με τα περίφημα απειροστά του Λάιμπνιτς, τα αθεμελίωτα όρια του Νεύτωνα, αλλά η τελική αυστηρή θεμελίωση των διαδικασιών του απείρου άρχισε με τη μελέτη του αριθμητικού συστήματος που θα περιελάμβανε όλους τους αριθμούς της εποχής , τους ρητούς και τους άρρητους. Γιατί τα Μαθηματικά, πέρα από τα ορθά αποτελέσματα των μεθόδων τους, έχουν προαπαιτούμενο ότι οι μέθοδοι αυτές θα πρέπει να στηρίζονται σε λογικές βάσεις. Η διερεύνηση των λογικών βάσεων των μεθόδων του Απειροστικού Λογισμού μας οδήγησε στην έννοια που ονομάζουμε «μαθηματικό συνεχές».

Η πορεία άρχισε με τον Euler τον 18^ο αιώνα, και τους Cauchy, Bolzano , Dedekind, Peano κ.α, διευθετήθηκε κατά τα τέλη του 19^ου αιώνα, οπότε με το έργο κυρίως του Weierstrass (ε-δ μέθοδος γνωστή στους πρωτοετείς φοιτητές των Μαθηματικών) και το πρόγραμμά του, της «αριθμητικοποίησης της Ανάλυσης» έγινε δυνατή η εγκατάσταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών ως θεμέλιου της Ανάλυσης, με διάφορες εναλλακτικές μεθόδους που είναι εκτός των ορίων αυτού του άρθρου.

Τώρα το σχέδιο είναι πλήρες. Σύμφωνα με αυτό, όλες οι βασικές έννοιες της Ανάλυσης (όριο, ακολουθία, σειρά, συνέχεια, παραγωγισιμότητα κλπ) θα αναπτύσσονταν σε ένα αυστηρά και αξιωματικά δομημένο περιβάλλον , ένα σύνολο αριθμών. Όμως το σύνολο αυτό, το R, το συνεχές, ήταν αρκετά π α ρ ά ξ ε ν ο για να μπορέσει να θεμελιώσει διαδικασίες επ’ άπειρο και να περιγράφει μεγέθη μη δυνάμενα να μετρηθούν.

Τελικά ένα σύνολο 13 αξιωμάτων ορίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Επειδή το R έχει τις ιδιότητες πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού καθώς και την επιμεριστική ιδιότητα, χαρακτηρίζεται ως σώμα. Επειδή το R έχει και τις ιδιότητες διάταξης, χαρακτηρίζεται ως διατεταγμένο σώμα. Τέλος, επειδή το R έχει και την αρχή της συ ν έ χ ε ι α ς (13^ο αξίωμα), χαρακτηρίζεται ως π λ ή ρ ε ς (χωρίς κενά) δ ι α τ ε τ α γ μ έ ν ο σ ώ μ α. Το R είναι το αριθμητικό πρότυπο του μαθηματικού συνεχούς και οι διαισθητικές μας αντιλήψεις για το χώρο τη διάρκεια ή την κίνηση, αναπροσαρμόζονται με βάση το R. Μια ισοδύναμη γεωμετρική εικόνα του παριστάνεται από μια μαθηματική ευθεία με την ίδια δομή με το σύνολο των πραγματικών αριθμών στη φυσική τους σειρά (αξιώματα διάταξης). Οι πραγματικοί αριθμοί δηλαδή αντιστοιχίζονται αμφιμονοσήμαντα με τα σημεία της ευθείας. (πραγματική ευθεία). To R είναι το μαθηματικό μοντέλο του συνεχούς (γραμμικό συνεχές) που περιγράφει το χώρο και το χρόνο κατά τη διάρκεια μιας κίνησης, αλλά έχουμε πολλά φυσικά συνεχή, η φυσική είναι γεμάτη, (π.χ ηλεκτρομαγνητικό πεδίο) τα οποία διαπραγματευόμαστε με τον Απειροστικό Λογισμό, τη γλώσσα του συνεχούς, με τεράστια επιτυχία.

Οι βασικότερες και βαθύτερες έννοιες του μαθηματικού συνεχούς (του R) προκύπτουν από την αρχή της συνέχειας και είναι η π λ η ρ ό τ η τ α  κ α ι  η π υ κ ν ό τ η τ ά του . Αυτές είναι η βάση για να αποδειχτούν όλα τα σημαντικά αποτελέσματα της Ανάλυσης.

Η πληρότητα: η πραγματική ευθεία δεν έχει χάσματα , είναι συνεχής δεν διακόπτεται

Η πυκνότητα: μεταξύ δύο οποιονδήποτε πραγματικών αριθμών (σημείων) υπάρχει πάντα ένας άλλος (στην πραγματικότητα άπειροι άλλοι).

Το σύνολο των ρητών δεν είναι πλήρες, είναι όμως πυκνό. Κατέστη πλήρες μετά την συμπλήρωση των χασμάτων από τους αρρήτους με τις τομές Dedekind ή τα όρια βασικών ακολουθιών του Cauchy .

Τα παράξενα του συνεχούς που καταργούν τη διαίσθηση και την εποπτεία είναι

• Δεν διαχωρίζεται και συγχρόνως είναι επ’ άπειρο διαιρετό.
• Το μέτρο (όπως το μήκος) ενός συνεχούς δεν προκύπτει από την άθροιση των μέτρων των σημείων ούτε του αριθμού των σημείων.
• Δοθέντος ενός αριθμού (σημείου) δεν υπάρχει επόμενος, αφού η απόσταση μεταξύ διακεκριμένων σημείων είναι πάντοτε θετική και πεπερασμένη.
• Η συνολική απόσταση που διανύεται από μια διαδοχή μιας συγκλίνουσας σειράς σημείων, ορίζεται από ένα άπειρο άθροισμα.

Αυτό που πρέπει πρώτα να επανεξεταστεί μέσα στο συνεχές, στα πλαίσια των παραδόξων, είναι η βάση της διαίσθησης, στην έννοια του σημείου.

Το σημείο στο συνεχές χάνει την ατομικότητά του, έτσι ώστε καμία αναπαράστασή του να είναι δυνατή, και να εξαφανίζεται κάθε διαισθητική αναφορά σε αυτό.

«το σημείο μέσα στο συνεχές στερείται το απαιτούμενο στήριγμα στη διαίσθηση. …Weyl

..Τα σημεία δεν είναι μέρος της διαίσθησής μας του συνεχούς τουλάχιστον όχι σαφώς από το χρονικό συνεχές , όπως επίσης ούτε μέρος του χωρικού συνεχούς … Longo 1998..».

Έτσι στα σύγχρονα μαθηματικά εγκαταλείπεται ο όρος σημείο, για τη φράση «όριο ακολουθίας» ή για τη λέξη «τομή».

Το σημείο χάνει την σαφή και Πυθαγόρεια υπόστασή του (σημείο - χάντρα), δηλαδή η εποπτεία διαλύεται, δεν υπάρχει εικόνα στο μυαλό για την πραγματική ευθεία , την εικόνα του R, και όμως η κατάσταση είναι μ α θ η μ α τ ι κ ά π ε ρ ι γ ρ ά ψ ι μ η.

Η άπειρη διαίρεση του συνεχούς δεν μοιάζει σε τίποτα με την πεπερασμένη. Το σύνολο R το θεωρούμε επ’ άπειρο διαιρετό αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια άπειρη διαίρεσή του. Είναι τόση η πυκνότητά του, ώστε μπορεί να συμβεί ότι προσθέτοντας αριθμούς επ’ άπειρο να έχουμε ως άθροισμα έναν πεπερασμένο αριθμό, (συγκλίνουσες σειρές). Με αυτή την έννοια η αρχαία ιδέα ότι η πραγματική άπειρη ακολουθία ½, ¾, 7/8,….. ποτέ δεν συγκλίνει σε κάποιον αριθμό, αφού συνεχώς προσθέτουμε πραγματικά μεγέθη (actual infinity), θα πρέπει να αντικατασταθεί με τη νέα έννοια της ακολουθίας που θεμελιώνεται στο συνεχές, καταλήγοντας στη σύγκλιση στον αριθμό 1.

Αυτό ακριβώς διέφευγε το Ζήνωνα, που την άπειρη διαίρεση τη φαντάζονταν  ..ασυνεχώς, φτάνοντας σε παράδοξα. Η αιτία δηλαδή της παραδοξότητας ήταν ότι προσπαθούσαν (τα παράδοξα) να συνδυάσουν την έννοια του απείρου, και την Πυθαγόρεια αντίληψη της ασυνέχειας για τον κόσμο. Γνωρίζουμε ότι το Πυθαγόρειο σύμπαν αποτελεί ένα αντίγραφο αυτού που σήμερα ονομάζουμε σύνολο φυσικών αριθμών, δηλαδή ήταν καθεστώς η αντίληψη ότι το σύμπαν αποτελείται από σχέσεις ανάμεσα σε διακριτές ποσότητες.

Η ευθεία γραμμή για τους Πυθαγόρειους ‘αποτελούνταν’ από χάντρες (διακεκριμένα σημεία) και ο χρόνος ήταν ένα σύνολο μεμονωμένων χρονικών στιγμών. Αν οι διακριτές χάντρες (όπως στο κομπολόι) ήταν άπειρες τότε το κινητό πράγματι, δεν θα φτάσει ποτέ στο Β. Δεν μπορούσαν τότε να κατανοήσουν ότι οι διαδοχικοί αριθμοί των θέσεων του κινητού του Ζήνωνα (τα σημεία) θα μπορούσαν να πλησιάσουν «οσοδήποτε κοντά» όσο μεγάλωνε η τάξη τους στη διαδοχή, να πυκνώσουν τόσο ώστε να μην λειτουργεί το μοντέλο με τις χάντρες, να καθίστανται αόρατα, χωρίς διαστάσεις, η επ’ άπειρο διαδοχή τους ένα νέφος, με αποτέλεσμα να συγκεντρώνονται «οσοδήποτε κοντά» στο Β (πεπερασμένο άθροισμα άπειρων όρων- όριο !), η υπόθεση να ξεφεύγει από τη εποπτεία της διακριτότητας, και στην πράξη το κινητό να φτάνει (οσοδήποτε κοντά) στη θέση Β. Αυτό το «οσοδήποτε κοντά» σήμερα δεν είναι αποτέλεσμα διαίσθησης και εποπτείας, αλλά αυστηρής θεμελίωσης που βασίζεται στην αρχή της συνέχειας. Είναι όριο μιας ακολουθίας δηλαδή ένα σημείο του συνεχούς. Μια θεωρία ορίων λοιπόν, η οποία βλέπει τα σημεία του R όπως βλέπει η Κυματομηχανική το σωμάτιο–κύμα, ήταν αδύνατον να θεμελιωθεί από τους Έλληνες της Πυθαγόρειας αντίληψης (το σωμάτιο της κλασσικής μηχανικής).

Σήμερα το όριο λ μιας ακολουθίας α_n περιγράφεται με τους γνωστούς τύπους της ανάλυσης:

το όριο της α_n είναι το λ αν και μόνο αν

όπου το ε είναι οσοδήποτε μικρός θετικός αριθμός, που περιγράφει το «οσοδήποτε κοντά». Αυτό συμβαίνει στο παράδοξο της διχοτομίας! Η διαδοχή του Ζήνωνα για ΑΒ=1 είναι η συγκλίνουσα γεωμετρική σειρά 1/2+1/4+……1/2ⁿ +…… που η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι η γνωστή μας ½, ¾, 7/8,….. με όριο το 1, άρα οι όροι της α_n, (ακολουθία των μερικών αθροισμάτων) πέρα από έναν δείκτη n₀, συγκεντρώνονται όλο και «πυκνότερα» γύρο από το 1 , (όσο πιο κοντά τόσο πιο πυκνά, όσο μικραίνει το ε αυξάνει η πύκνωση, και μεγαλώνει το n₀) τερματίζοντας οριακά, δηλαδή στην πράξη, την κίνηση στη διαδρομή του Ζήνωνα, στο σημείο Β με τη νέα του έννοια-ονομασία (όριο ακολουθίας).

Από το σημείο αυτό ξεκινούν τα φιλοσοφικά συμπεράσματα του Ζήνωνα ότι δηλαδή με την παραδοχή της επ’ άπειρο διαίρεσης των μεγεθών , δεν υπάρχει …κίνηση! Τα διαδοχικά σημεία της διαδρομής δεν τελείωναν ποτέ (άπειρα) και καθώς τα έβλεπε διακριτά, καθιστούσαν την άφιξη στο Β αδύνατη.

Κατάλαβε ότι η διακριτή γνωστή σε αυτόν Πυθαγόρεια διαδοχή δεν συμβαίνει όταν το πλήθος των όρων απειρίζεται, αλλά πώς να την περιγράψει;

Άρα δεν ισχύει η επ’ άπειρο διαίρεση των μεγεθών! Ο χώρος και ο χρόνος δεν ήταν επ’ άπειρο διαιρετά όπως έδειχναν οι αριθμοί. Αποτέλεσμα αυτής της κατάργησης της διακριτής και άπειρης διαδοχής, (ισχυρίζεται ο Ζήνων) είναι τελικά η άφιξη του κινητού στο Β. (διαφορετικά συμβαίνει το παράδοξο να μην φτάνει στο Β, μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής). Έ τ σ ι  δ ι α ι σ θ η τ ι κ ά  ε ρ μ ή ν ε υ σ ε   α υ τ ό ς  τ η ν α ρ χ ή  τ η ς  σ υ ν έ χ ε ι α ς. Κατάργησε την επ’ άπειρο διαίρεση των μεγεθών, επειδή δεν κατανοούσε το ‘μηχανισμό’ της. Ότι δηλαδή άπειρη διαδικασία σημαίνει όριο, και όριο σημαίνει συνεχές.

Το επόμενο παράδοξο του Ζήνωνα (παράδοξο του βέλους) έχει την ίδια ερμηνεία, αλλά στο συνεχές του χρόνου, όπου δεν μπορούμε να μιλούμε για ξεχωριστές και διαδοχικές Πυθαγόρειες χρονικές στιγμές, και η διάρκεια μιας στιγμής είναι μηδενική. Τα γεγονότα ορίζονται όχι ως στιγμιαία αλλά σε ένα συνεχές διάστημα πραγματικών αριθμών (πάλι οσοδήποτε μικρό). Η περιγραφή του Ζήνωνα αναφέρεται στην προσπάθεια αντιμετώπισης των επ’ άπειρο διαιρούμενων χρονικών διαδικασιών με θεμελιακή αφετηρία όμως την Πυθαγόρεια ιδέα της μη συνέχειας, ενώ πρόκειται για ένα γραμμικό συνεχές σύνολο στιγμών.

Σαν τελικό συμπέρασμα έχουμε ότι στην προσπάθεια να θεμελιώσουμε αυστηρά λογικά τις επ’ άπειρο διαδικασίες, φτάσαμε στην έννοια του συνεχούς (του οποίου η μελέτη έχει μεγάλη ιστορία μέχρι σήμερα-θεωρία συνόλων) με μαθηματικό μοντέλο το R. Είναι αυτό το συνεχές που ερμήνευσε όλα τα πολλά παράδοξα που εμφανίζονταν στην πορεία της εξέλιξης του Λογισμού από τα απειροστά μέχρι την παράγωγο και τις σειρές, στα οποία τα παράδοξα του Ζήνωνα ήταν μόνο η αρχή.

Για το άρθρο αυτό διάβασα

Από το βιβλίο το Foundations and fundamentals concepts of Mthematics του Howard Eves (κεφ. the postulational approach to the real number system),

το πολύ καλό άρθρο του Ulin Nuha : Zeno’s Paradoxes στο διαδίκτυο,

και Μόρφω Ιακώβου , Διπλωματική εργασία , διαδίκτυο.

Γιώργος Μπαντές μαθηματικός (www.mpantes.gr)

1 Οι μαθηματικοί του 17^ου και 18^ου αιώνα αντιμετώπισαν πολλά παράδοξα στις σειρές (κλάδος της ανάλυσης), όταν δεν είχαν αυστηρά κριτήρια σύγκλισης.